【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx+a(x﹣1)2,其中a>0.
(1)當(dāng)a=1時(shí),求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程;(2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(3)若函數(shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2,且x1<x2,求證: .
【答案】(1)切線方程:y=x﹣1,(2)見解析,(3)見解析.
【解析】試題分析:(1)當(dāng)a=1時(shí),求出f(1),然后得到取得坐標(biāo),求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),求出切線的斜率,然后求解切線方程;(2)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過a的討論,判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào),然后求解函數(shù)f(x)的單調(diào)性;(3)利用函數(shù)的極值點(diǎn)以及函數(shù)的單調(diào)性,轉(zhuǎn)化證明即可.
(1)當(dāng)a=1時(shí),f(1)=0,f′(x)=+2(x﹣1),f′(1)=1,
曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,0)處的切線方程:y=x﹣1.
(2)∵f(x)=lnx+ax2﹣2ax+a (x>0)
①當(dāng)△=4a2﹣8a≤0即0<a≤2時(shí),f′(x)>0,
∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0.+∞).
②當(dāng)△=4a2﹣8a>0時(shí),即a>2時(shí),令f′(x)=0得 .
∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(x2,+∞)和(0,x1),單調(diào)遞減區(qū)間是(x1,x2).
(3)證明:∵f(x)在(x2,+∞)單調(diào)遞增,且x2<1,
∴f(x2)<f(1)=0,不等式右側(cè)證畢。′
∵f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2,∴a>2.故 ,
令 ,
∴g(x)在( )單調(diào)遞增. 故
不等式左側(cè)證畢.綜上可知: .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=( +a)x,a∈R
(1)求函數(shù)的定義域
(2)是否存在實(shí)數(shù)a,使得f(x)為偶函數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】[選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,點(diǎn)P的極坐標(biāo)為。
(Ⅰ)求直線l以及曲線C的極坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)設(shè)直線l與曲線C交于A,B兩點(diǎn),求△PAB的面積。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列四個(gè)結(jié)論,其中正確的個(gè)數(shù)為( ). ①已 ,則
②過原點(diǎn)作曲線 的切線,則切線方程為 (其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù));
③已知隨機(jī)變 ,則
④已知n為正偶數(shù),用數(shù)學(xué)歸納法證明等式 時(shí),若假設(shè) 時(shí),命題為真,則還需利用歸納假設(shè)再證明 時(shí)等式成立,即可證明等式對(duì)一切正偶數(shù)n都成立.
⑤在回歸分析中,常用 來刻畫回歸效果,在線性回歸模型中, 表示解釋變量對(duì)于預(yù)報(bào)變量變化的貢獻(xiàn)率 越接近1,表示回歸的效果越好.
A.2
B.3
C.4
D.5
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求在處的切線方程;
(2)設(shè)函數(shù),
(ⅰ)若函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)時(shí),求的值;
(ⅱ)在(ⅰ)的條件下,若,,求的取值范圍。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義在(﹣1,1)上的奇函數(shù)f(x)是減函數(shù)滿足f(1﹣a)+f(1﹣2a)<0,則a的取值范圍是 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】[選修4―4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
在平面直角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.已知直線的參數(shù)方程為;曲線的極坐標(biāo)方程為;曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).
(1)求直線的直角坐標(biāo)方程、曲線的直角坐標(biāo)方程和曲線的普通方程;
(2)若直線與曲線曲線在第一象限的交點(diǎn)分別為,求之間的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】數(shù)列{an}是等差數(shù)列,若 <﹣1,且它的前n項(xiàng)和Sn有最大值,那么當(dāng)Sn取的最小正值時(shí),n=( )
A.11
B.17
C.19
D.21
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