Question

2．?dāng)?shù)列{a_n}中，a₁=3，對任意n∈N^*，向量$\overrightarrow{a}$=（a_n+1，3）與$\overrightarrow$=（a_n，1）都平行，數(shù)列{b_n}滿足b_n=31-31log₃a_n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{b_n}的前n項和B_n的最大值．

Answer 1

分析 （1）通過向量$\overrightarrow{a}$=（a_n+1，3）與$\overrightarrow$=（a_n，1）都平行可知a_n+1=3a_n，進而利用等比數(shù)列的通項公式可知a_n=3ⁿ；
（2）通過（1）可知b_n=31-31n，進而可知B_n=$-\frac{31}{2}$[$（n-\frac{1}{2}）^{2}$-$\frac{1}{4}$]，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)論．

解答 解：（1）因為對任意n∈N^*，向量$\overrightarrow{a}$=（a_n+1，3）與$\overrightarrow$=（a_n，1）都平行，
所以a_n+1=3a_n，
又因為a₁=3，
所以a_n=3ⁿ；
（2）由（1）可知b_n=31-31log₃a_n=31-31$lo{g}_{3}{3}^{n}$=31-31n，
所以B_n=31n-31•$\frac{n（n+1）}{2}$=$-\frac{31}{2}$[$（n-\frac{1}{2}）^{2}$-$\frac{1}{4}$]，
顯然當(dāng)n=1時B_n取最大值B₁=0．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，涉及向量平行的坐標(biāo)表示、對數(shù)的運算性質(zhì)、等差數(shù)列的通項公式，注意解題方法的積累，屬于中檔題．