Question

19．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知B=C，2sinA=3sinB．
（Ⅰ）求cosA；
（Ⅱ）求cos（2A-$\frac{π}{6}$）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)題意，由正弦定理可得b=c=$\frac{2}{3}$a，將其代入余弦定理cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$中計(jì)算可得答案，
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得cosA的值，計(jì)算可得sinA的值，由二倍角公式計(jì)算可得sin2A與cos2A的值，將其代入cos（2A-$\frac{π}{6}$）=cos2Acos$\frac{π}{6}$+sin2Asin$\frac{π}{6}$中計(jì)算可得答案．

解答 解：（Ⅰ）根據(jù)題意，2sinA=3sinB，又由$\frac{a}{sinA}$=$\frac{sinB}$，則b=$\frac{2}{3}$a，
又由B=C，即b=c=$\frac{2}{3}$a，
cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{\frac{4{a}^{2}}{9}+\frac{4{a}^{2}}{9}-{a}^{2}}{2×\frac{2a}{3}×\frac{2a}{3}}$=-$\frac{1}{8}$；
（Ⅱ）由Ⅰ可得：cosA=-$\frac{1}{8}$，則sinA=$\frac{3\sqrt{7}}{8}$，
則sin2A=2sinA•cosA=-$\frac{3\sqrt{7}}{32}$，
cos2A=2cos²A-1=-$\frac{31}{32}$，
cos（2A-$\frac{π}{6}$）=cos2Acos$\frac{π}{6}$+sin2Asin$\frac{π}{6}$=-$\frac{31\sqrt{3}+3\sqrt{7}}{64}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的恒等變形，涉及正弦、余弦定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出cosA的值．