Question

12．函數(shù)y=f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=x²-2x-1．
（1）求f（x）的函數(shù)解析式；
（2）寫出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間及最值；
（3）當(dāng)關(guān)于x的方程f（x）=m有四個(gè)不同的解時(shí)，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)x＜0時(shí)，-x＞0，由已知中當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=x²-2x-1，及函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，可求出當(dāng)x＜0時(shí)函數(shù)的解析式，進(jìn)而得到答案，
（2）由二次函數(shù)的圖象畫法可得到函數(shù)的草圖；根據(jù)圖象寫出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間及最值；
（3）由圖象可得結(jié)論．

解答 解：（1）當(dāng)x＜0時(shí)，-x＞0，
則當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=x²-2x-1，
則f（-x）=（-x）²-2（-x）-1=x²+2x-1，
∵f（x）是偶函數(shù)，∴f（-x）=f（x）=x²+2x-1，
∴$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}-2x-1，x≥0}\\{{x^2}+2x-1，x＜0}\end{array}}\right.$；
（2）單調(diào)增區(qū)間為[-1，0]和（1，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（-∞，-1]和[0，1]；
當(dāng)x=1或x=-1時(shí)，f（x）有最小值-2，無最大值；
（3）關(guān)于x的方程f（x）=m有四個(gè)不同的解，即有直線y=m與y=f（x）的圖象有四個(gè)交點(diǎn)，由圖象可知，m的取值范圍是（-2，-1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)圖象，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，函數(shù)的值域，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，難度中檔．