Question

9．過點P（2，1）作直線l交x，y正半軸于A，B兩點，當|$\overrightarrow{PA}$|•|$\overrightarrow{PB}$|取到最小值時，直線l的方程是（　　）

• A． x+y-3=0
• B． x+2y-4=0
• C． x-y+3=0
• D． x-2y-4=0

Answer 1

分析 本題常規(guī)思想是采用待定系數(shù)法，設(shè)直線l方程y=k（x-2）+1，表示出點A、B的坐標，根據(jù)直線過x軸、y軸正半軸，確定向量$\overrightarrow{PA}$與$\overrightarrow{PB}$方向相反，再利用數(shù)量積運算及基本不等式，求當|$\overrightarrow{PA}$|•|$\overrightarrow{PB}$|取到最小值時的參數(shù)k．
也可以用四個選項進行驗證比較，①是否過P點，②直線的斜率是否為負，②|$\overrightarrow{PA}$|•|$\overrightarrow{PB}$|的值誰最�。�

解答 解法一：
解：由題知，直線l的斜率存在且小于0，故設(shè)直線l的方程為y=k（x-2）+1，
令y=0，得x=$2-\frac{1}{k}$，
令x=0，得y=1-2k，
所以，A（$2-\frac{1}{k}$，0），B（0，1-2k），
故 $\overrightarrow{PA}$=（$-\frac{1}{k}$，-1），$\overrightarrow{PB}$=（-2，-2k），
又由題，及右圖知向量$\overrightarrow{PA}$與$\overrightarrow{PB}$方向相反，
∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=|\overrightarrow{PA}||\overrightarrow{PB}|cos＜\overrightarrow{PA}，\overrightarrow{PB}＞$=$-|\overrightarrow{PA}||\overrightarrow{PB}|$，
∴$|\overrightarrow{PA}||\overrightarrow{PB}|$=$-\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=$-（\frac{2}{k}+2k）$=$（-\frac{2}{k}）+（-2k）$．
∵k＜0
∴$-（\frac{2}{k}+2k）$=$（-\frac{2}{k}）+（-2k）$ $≥2\sqrt{（-\frac{2}{k}）•（-2k）}$=4．
當且僅當 k=-1時，取得 $|\overrightarrow{PA}||\overrightarrow{PB}|$的最小值4．
∴直線l的方程為：y=-（x-2）+1即x+y-3=0，
故選：A．
解法二：
解：由題，直線l交x，y正半軸于A，B兩點，知直線l的斜率為負值，
C選項，斜率為1，故排除．
D選項，斜率為$\frac{1}{2}$，故排除．
A選項，斜率為-1，符合．
B選項，斜率為$-\frac{1}{2}$，符合．
故選項A、B進行下一步的篩選，
比較|$\overrightarrow{PA}$|•|$\overrightarrow{PB}$|的值，若值跟大，則排除，值更小，則是答案．
A選項：直線l與x軸、y軸的交點分別為A（3，0），B（0，3），
計算|$\overrightarrow{PA}$|•|$\overrightarrow{PB}$|=$\sqrt{（3-2）^{2}+（0-1）^{2}}$•$\sqrt{（0-2）^{2}+（3-1）^{2}}$=4，
B選項：直線l與x軸、y軸的交點分別為A（4，0），B（0，2）
計算|$\overrightarrow{PA}$|•|$\overrightarrow{PB}$|=$\sqrt{（4-2）^{2}+（0-1）^{2}}$•$\sqrt{（0-2）^{2}+（2-1）^{2}}$=5，
知 4＜5．
故選：A．

點評 知識點考查了直線與向量的綜合應(yīng)用，向量的數(shù)量積與模積的關(guān)系，基本不等式；數(shù)學思想方法考查了數(shù)形結(jié)合、待定系數(shù)法、排除法、比較法．綜合性雖然比較強，但考查的是常用知識點，沒有設(shè)置易錯點，故屬于中檔題．