Question

10．已知橢圓C焦點在x軸上，中心在原點，長軸長為4，離心率$\frac{\sqrt{3}}{2}$，F(xiàn)₁、F₂分別是橢圓的左、右焦點．
（1）若P是第一象限內(nèi)橢圓C上的一點，$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=-$\frac{5}{4}$，求點P的坐標；
（2）設(shè)過定點M（0，2）的直線l與橢圓交于不同的兩點A、B，且∠AOB為銳角（其中O為作標原點），求直線l的斜率k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求得a=2，運用離心率公式可得c=$\sqrt{3}$，b=1，進而得到橢圓方程，求得焦點坐標，設(shè)出P（x，y），運用向量的數(shù)量積的坐標表示，解方程組可得P的坐標；
（2）顯然x=0不滿足題設(shè)條件．可設(shè)l的方程為y=kx+2，代入橢圓方程，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），運用韋達定理和判別式大于0，∠AOB為銳角?cos∠AOB＞0且cos∠AOB≠1?$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$＞0且$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$≠|(zhì)$\overrightarrow{OA}$|•|$\overrightarrow{OB}$|．運用向量的數(shù)量積的坐標表示，化簡整理，解方程即可得到k的范圍．

解答 解：（1）易知a=2，由$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，可得c=$\sqrt{3}$，b=1，
所以橢圓的方程是$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$；
則F₁（-$\sqrt{3}$，0），F(xiàn)₂（$\sqrt{3}$，0），
設(shè)P（x，y）（x＞0，y＞0），
則$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（-$\sqrt{3}$-x，-y）•（$\sqrt{3}$-x，-y）=x²+y²-3=-$\frac{5}{4}$，
則x²+y²=$\frac{7}{4}$，
又x²+4y²=4，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=\frac{7}{4}}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=1}\\{{y}^{2}=\frac{3}{4}}\end{array}\right.$，即有P（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）；
（2）顯然x=0不滿足題設(shè)條件．可設(shè)l的方程為y=kx+2，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，可得（1+4k²）x²+16kx+12=0，
即有x₁+x₂=-$\frac{16k}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{12}{1+4{k}^{2}}$，
由△=（16k）²-48（1+4k²）＞0，得k²＞$\frac{3}{4}$①，
又∠AOB為銳角?cos∠AOB＞0且cos∠AOB≠1，
?$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$＞0且$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$≠|(zhì)$\overrightarrow{OA}$|•|$\overrightarrow{OB}$|．
則$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂＞0，
又y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4，
可得x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4
=（1+k²）•$\frac{12}{1+4{k}^{2}}$+2k（-$\frac{16k}{1+4{k}^{2}}$）+4=$\frac{4（4-{k}^{2}）}{1+4{k}^{2}}$＞0，
由1+4k²＞0，則4-k²＞0 即k²＜4 ②，
綜①②可知$\frac{3}{4}$＜k²＜4，經(jīng)檢驗A、O、B三點不共線．
則k的取值范圍是（-2，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）∪（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，2）．

點評 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運用韋達定理，考查向量的數(shù)量積的坐標表示和角為銳角的條件，考查化簡整理和運算能力，屬于中檔題．