Question

已知雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1與橢圓

x2

9

+

y2

4

=1有相同的焦點，且雙曲線C的漸近線方程為y=±2x，則雙曲線C的方程為

 

．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質(zhì),橢圓的簡單性質(zhì),雙曲線的標準方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由已知條件，求出橢圓的焦點得到雙曲線的焦點坐標，再由雙曲線的漸近線方程得到

b

a

的值，由此能求出雙曲線的標準方程．

解答： 解：∵橢圓

x2

9

+

y2

4

=1的焦點F1(-

5

，0)，F2(

5

，0)，
∴由題意知雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1的焦點F1(-

5

，0)，F2(

5

，0)，
∵雙曲線C的漸近線方程為y=±2x，
∴

c= 5 b a =2

，
解得a=1，b=2，
∴雙曲線方程為：x2-

y2

4

=1．
故答案為：x2-

y2

4

=1．

點評：本題考查雙曲線的標準方程的求法，解題時要熟練掌握雙曲線、橢圓的簡單性質(zhì)，是中檔題．