Question

函數(shù)f（x）在[0，+∞）上是單調(diào)遞減函數(shù)，f（x）≠0且f（2）=1，求函數(shù)F（x）=f（x）+

1

f(x)

在[0，2]上的單調(diào)性．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：求F′（x），根據(jù)f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞減，且f（2）=1判斷F′（x）的符號(hào)，從而判斷出函數(shù)F（x）在[0，2]上的單調(diào)性．

解答： 解：F′（x）=f′（x）-

f′(x)

f2(x)

=f′(x)(1-

1

f2(x)

)；
∵f（x）在[0，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)，∴f′（x）＜0；
又f（2）=1，x∈[0，2]時(shí)，f（x）≥1，∴1-

1

f2(x)

≥0；
∴F′（x）≤0；
∴F（x）在[0，2]上單調(diào)遞減．

點(diǎn)評(píng)：考查函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)的關(guān)系，以及單調(diào)遞減函數(shù)的定義，要對(duì)函數(shù)F（x）正確求導(dǎo)．