Question

9．如圖一塊長(zhǎng)方形區(qū)域ABCD，AD=2，AB=1，在邊AD的中點(diǎn)O處有一個(gè)可轉(zhuǎn)動(dòng)
的探照燈，其照射角∠EOF始終為$\frac{π}{4}$，設(shè)∠AOE=α，探照燈照射在長(zhǎng)方形ABCD內(nèi)部區(qū)域的面積為S；
（1）當(dāng)$0≤α＜\frac{π}{2}$時(shí)，求S關(guān)于α的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)$0≤α≤\frac{π}{4}$時(shí)，求S的最大值；
（3）若探照燈每9分鐘旋轉(zhuǎn)“一個(gè)來(lái)回”（OE自O(shè)A轉(zhuǎn)到OC，再回到OA，稱“一個(gè)來(lái)
回”，忽略O(shè)E在OA及OC處所用的時(shí)間），且轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度大小一定，設(shè)AB邊上有一點(diǎn)G，且$∠AOG=\frac{π}{6}$，求點(diǎn)G在“一個(gè)來(lái)回”中被照到的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意過(guò)點(diǎn)O作OH⊥BC于H．再討論α的范圍，可得當(dāng)0≤α≤$\frac{π}{4}$時(shí)，E在邊AB上，F(xiàn)在線段BH上，因此S=S_{正方形OABH}-S_△OAE-S_△OHF；當(dāng)$\frac{π}{4}$＜α＜$\frac{π}{2}$時(shí)，E在線段BH上，F(xiàn)在線段CH上，因此S=S_△OEF．由此即可得到當(dāng)0≤α＜$\frac{π}{2}$時(shí)S關(guān)于α的函數(shù)表達(dá)式；
（2）利用基本不等式求出S的最大值，注意等號(hào)成立的條件；
（3）求出在“一個(gè)來(lái)回”中OE共轉(zhuǎn)動(dòng)的角度，并求出其中點(diǎn)G被照到時(shí)共轉(zhuǎn)的角度，結(jié)合題意列式即可求出“一個(gè)來(lái)回”中點(diǎn)G被照到的時(shí)間．

解答 解：（1）過(guò)O作OH⊥BC，H為垂足
當(dāng)$0≤α≤\frac{π}{4}$，E在邊AB上，F(xiàn)在線段BH上（如圖①），
此時(shí)，AE=tanα，F(xiàn)H=tan（$\frac{π}{4}$-α），∴S=S_{正方形OABH}-S_△OAE-S_△OHF
$S=1-\frac{1}{2}tanα-\frac{1}{2}tan（\frac{π}{4}-α）$；
當(dāng)$\frac{π}{4}＜α＜\frac{π}{2}$，E在線段BH上，F(xiàn)在線段CH上（如圖②），EH=$\frac{1}{tanα}$，F(xiàn)H=$\frac{1}{tan（\frac{3π}{4}-α）}$
$S=\frac{1}{2}（\frac{1}{tanα}+\frac{1}{{tan（\frac{3π}{4}-α）}}）$；

（2）當(dāng)$0≤α≤\frac{π}{4}$，$S=1-\frac{1}{2}tanα-\frac{1}{2}tan（\frac{π}{4}-α）$；
即S=2-$\frac{1}{2}（1+tanα+\frac{2}{1+tanα}）$，∴0≤tanα≤1．即1≤1+tanα≤2．
$1+tanα+\frac{2}{1+tanα}≥2\sqrt{2}$，當(dāng)tanα=-1時(shí)，S取得最大值為2-$\sqrt{2}$
（3）在“一個(gè)來(lái)回”中，OE共轉(zhuǎn)了2×$\frac{3π}{4}$=$\frac{3π}{2}$，其中點(diǎn)G被照到時(shí)，共轉(zhuǎn)了2×$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{3}$，
∴在“一個(gè)來(lái)回”中，點(diǎn)G被照到的時(shí)間為9×$（\frac{π}{3}÷\frac{3π}{2}）$=2分鐘；

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了解三角形在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，同時(shí)考查了利用基本不等式求最值問(wèn)題，屬于中檔題．