Question

6．已知在極坐標(biāo)系中曲線(xiàn)C是以點(diǎn)（1，$\frac{π}{4}$）為圓心，以1為半徑的圓，以極點(diǎn)為坐標(biāo)系原點(diǎn)O，極軸為x軸的非負(fù)半軸，且單位長(zhǎng)度相同建立平面直角坐標(biāo)系，直線(xiàn)l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
（1）寫(xiě)出l的普通方程及曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程；
（2）判斷l(xiāng)與C是否相交，若相交，設(shè)交點(diǎn)為P，Q兩點(diǎn)，求線(xiàn)段PQ的長(zhǎng)，若不相交，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）將直線(xiàn)l的參數(shù)方程兩式相減即可消去參數(shù)t得出普通方程，求出曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程，再轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程；
（2）將直線(xiàn)l的參數(shù)方程代入圓C的直角坐標(biāo)方程得出關(guān)于參數(shù)t方程，根據(jù)方程解的個(gè)數(shù)判斷位置關(guān)系，利用根與系數(shù)的關(guān)系和參數(shù)的幾何意義計(jì)算|PQ|．

解答 解：（1）∵直線(xiàn)l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
∴x-y=-1，即x-y+1=0．∴直線(xiàn)l的普通方程為x-y+1=0；
極坐標(biāo)（1，$\frac{π}{4}$）對(duì)應(yīng)的直角坐標(biāo)為（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
∴圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²+（y-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²=1，即x²+y²-$\sqrt{2}$x-$\sqrt{2}$y=0．
又x=ρcosθ，y=ρsinθ，
∴ρ²-$\sqrt{2}$ρcosθ-$\sqrt{2}$ρsinθ=0，即ρ=$\sqrt{2}$cosθ+$\sqrt{2}$sinθ．
∴曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程為ρ=$\sqrt{2}$cosθ+$\sqrt{2}$sinθ．
（2）把直線(xiàn)l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）代入曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程x²+y²-$\sqrt{2}$x-$\sqrt{2}$y=0，
得：t²-（2+$\sqrt{2}$）t+$\sqrt{2}$+1=0，
∵△=（2+$\sqrt{2}$）²-4（$\sqrt{2}+1$）=2＞0，
∴方程t²-（2+$\sqrt{2}$）t+$\sqrt{2}$+1=0有兩解t₁，t₂，
∴t₁+t₂=2+$\sqrt{2}$，t₁t₂=$\sqrt{2}+1$．
∴|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{2}$．
∴直線(xiàn)l與圓C相交，|PQ|=$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)方程，參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化，參數(shù)的幾何意義，屬于中檔題．