Question

16．已知函數(shù)$f（x）=2x-\frac{a}{x}$，且f（1）=3
（1）求a的值；
（2）判斷函數(shù)的奇偶性；
（3）證明函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，由于f（1）=3，必有2×1-$\frac{a}{1}$=3，解可得a的值，即可得答案；
（2）由（1）可得函數(shù)的解析式，分析其定義域可得其定義域關(guān)于原點對稱，求出f（-x）可得f（-x）=-f（x），即可得函數(shù)為奇函數(shù)；
（3）根據(jù)題意，設(shè)x₁＞x₂＞1，由作差法分析可得f（x₁）-f（x₂）=（x₁-x₂）（$\frac{2{x}_{1}{x}_{2}-1}{{x}_{1}{x}_{2}}$），結(jié)合x₁＞x₂＞1，分析可得f（x₁）-f（x₂）＞0；由增函數(shù)的定義即可得答案．

解答 解：（1）根據(jù)題意，對于函數(shù)$f（x）=2x-\frac{a}{x}$，有f（1）=3
則有2×1-$\frac{a}{1}$=3，解可得a=-1，
（2）由于a=-1，f（x）=2x+$\frac{1}{x}$，
其定義域為{x|x≠0}，關(guān)于原點對稱，
又由f（-x）=-（2x+$\frac{1}{x}$）=-f（x）；
故函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；
（3）證明：設(shè)x₁＞x₂＞1，
f（x₁）-f（x₂）=2x₁+$\frac{1}{{x}_{1}}$-（2x₂+$\frac{1}{{x}_{2}}$）=2（x₁-x₂）+（$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{2}}$）=（x₁-x₂）（$\frac{2{x}_{1}{x}_{2}-1}{{x}_{1}{x}_{2}}$），
有由x₁＞x₂＞1，則（x₁-x₂）＞0且（$\frac{2{x}_{1}{x}_{2}-1}{{x}_{1}{x}_{2}}$）＞0，
則有f（x₁）-f（x₂）＞0；
故函數(shù)f（x）為增函數(shù)．

點評 本題考查函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的判定與應(yīng)用，關(guān)鍵是由f（1）=3求出函數(shù)的解析式．