已知點(diǎn)、,動(dòng)點(diǎn)滿足:,且
(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程;
(2)已知圓W: 的切線與軌跡相交于P,Q兩點(diǎn),求證:以PQ為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn).
(1);(2)證明詳見解析.
解析試題分析:(1)針對(duì)點(diǎn)的位置:點(diǎn)在線段上、點(diǎn)在軸上且在線段外、點(diǎn)不在軸上進(jìn)行分類確定點(diǎn)的軌跡,前兩種只須簡單的檢驗(yàn)即可,當(dāng)點(diǎn)不在軸上時(shí),在中,應(yīng)用余弦定理得,化簡得到,再根據(jù)圓錐曲線的定義,可知?jiǎng)狱c(diǎn)在以為兩焦點(diǎn)的橢圓上,由橢圓的相關(guān)參數(shù)即可寫出橢圓的方程,最后綜合各種情況寫出所求軌跡的方程;(2)先驗(yàn)證直線斜率不存在與斜率為0的情形,然后再證明直線斜率存在且不為0的情況,此時(shí)先設(shè)直線,設(shè)點(diǎn),聯(lián)立直線與軌跡的方程,消去得到,進(jìn)而求出及,得到,利用直線與圓相切得到,代入式子中,即可得到,從而問題得證.
試題解析:(1)①當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)
不存在或,均不滿足題目條件 1分
②當(dāng)點(diǎn)在軸上且在線段外時(shí),
,設(shè)
由可得∴∴ 3分
③當(dāng)點(diǎn)不在軸上時(shí),
在中,由余弦定理得
,即動(dòng)點(diǎn)在以為兩焦點(diǎn)的橢圓上
方程為:()
綜和①②③可知:動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為: 6分
(2)①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)
∵直線與圓相切,故切線方程為或
切線方程與聯(lián)立方程組
可求得
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知直線l1:4x-3y+6=0和直線l2:x=- (p>2).若拋物線C:y2=2px上的點(diǎn)到直線l1和直線l2的距離之和的最小值為2.
(1)求拋物線C的方程;
(2)若拋物線上任意一點(diǎn)M處的切線l與直線l2交于點(diǎn)N,試問在x軸上是否存在定點(diǎn)Q,使Q點(diǎn)在以MN為直徑的圓上,若存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知拋物線的焦點(diǎn)為雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn),且兩條曲線都經(jīng)過點(diǎn).
(1)求這兩條曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)已知點(diǎn)在拋物線上,且它與雙曲線的左,右焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為4,求點(diǎn) 的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓C:=1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)F1,F2和上下兩個(gè)頂點(diǎn)B1,B2是一個(gè)邊長為2且∠F1B1F2為60°的菱形的四個(gè)頂點(diǎn).
(1)求橢圓C的方程;
(2)過右焦點(diǎn)F2的斜率為k(k≠0)的直線l與橢圓C相交于E、F兩點(diǎn),A為橢圓的右頂點(diǎn),直線AE,AF分別交直線x=3于點(diǎn)M,N,線段MN的中點(diǎn)為P,記直線PF2的斜率為k′,求證: k·k′為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知△的兩個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是,,且所在直線的斜率之積等于.
(1)求頂點(diǎn)的軌跡的方程,并判斷軌跡為何種圓錐曲線;
(2)當(dāng)時(shí),過點(diǎn)的直線交曲線于兩點(diǎn),設(shè)點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為(不重合), 試問:直線與軸的交點(diǎn)是否是定點(diǎn)?若是,求出定點(diǎn),若不是,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,矩形ABCD中,|AB|=2,|BC|=2.E,F(xiàn),G,H分別是矩形四條邊的中點(diǎn),分別以HF,EG所在的直線為x軸,y軸建立平面直角坐標(biāo)系,已知=λ,=λ,其中0<λ<1.
(1)求證:直線ER與GR′的交點(diǎn)M在橢圓Γ:+y2=1上;
(2)若點(diǎn)N是直線l:y=x+2上且不在坐標(biāo)軸上的任意一點(diǎn),F(xiàn)1、F2分別為橢圓Γ的左、右焦點(diǎn),直線NF1和NF2與橢圓Γ的交點(diǎn)分別為P、Q和S、T.是否存在點(diǎn)N,使得直線OP、OQ、OS、OT的斜率kOP、kOQ、kOS、kOT滿足kOP+kOQ+kOS+kOT=0?若存在,求出點(diǎn)N的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)橢圓過點(diǎn),離心率為.
(1)求橢圓的方程;
(2)求過點(diǎn)且斜率為的直線被橢圓所截得線段的中點(diǎn)坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知?jiǎng)又本與橢圓交于、兩不同點(diǎn),且△的面積=,其中為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)證明和均為定值;
(2)設(shè)線段的中點(diǎn)為,求的最大值;
(3)橢圓上是否存在點(diǎn),使得?若存在,判斷△的形狀;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
在平面直角坐標(biāo)系中,已知分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),橢圓與拋物線有一個(gè)公共的焦點(diǎn),且過點(diǎn).
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)是橢圓在第一象限上的任一點(diǎn),連接,過點(diǎn)作斜率為的直線,使得與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn),設(shè)直線的斜率分別為,,試證明為定值,并求出這個(gè)定值;
(III)在第(Ⅱ)問的條件下,作,設(shè)交于點(diǎn),
證明:當(dāng)點(diǎn)在橢圓上移動(dòng)時(shí),點(diǎn)在某定直線上.
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