已知動直線與橢圓交于、兩不同點，且△的面積=，其中為坐標原點.
（1）證明和均為定值；
（2）設(shè)線段的中點為，求的最大值；
（3）橢圓上是否存在點，使得？若存在，判斷△的形狀；若不存在，請說明理由.

（1）證明詳見解析；（2）；（3）不存在點滿足要求.

解析試題分析：（1）先檢驗直線斜率不存在的情況，后假設(shè)直線的方程，利用弦長公式求出的長，利用點到直線的距離公式求點到直線的距離，根據(jù)三角形的面積公式，即可求得與均為定值；（2）由（1）可求線段的中點的坐標，代入并利用基本不等式求最值；（3）假設(shè)存在，使得，由（1）得，，從而求得點的坐標，可以求出直線的方程，從而得到結(jié)論.
試題解析：（1）當直線的斜率不存在時，P，Q兩點關(guān)于軸對稱，所以
因為在橢圓上，因此   ①
又因為所以   ②
由①、②得，此時     2分
當直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為
由題意知，將其代入，得
其中即 （*）
又
所以
因為點到直線的距離為
所以

又，整理得，且符合（*）式
此時

綜上所述，結(jié)論成立         5分
（2）解法一：
（1）當直線的斜率不存在時，由（I）知
因此               6分
（2）當直線的斜率存在時，由（I）知

所以

所以，當且僅當，即時，等號成立
綜合（1）（2）得的最大值為             9分
解法二：因為

所以
即當且僅當時等號成立
因此的最大值為                   9分
（3）橢圓C上不存在三點，使得 10分
證明：假設(shè)存在滿足
由（I）得

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知A，B，C是橢圓W：＋y2＝1上的三個點，O是坐標原點．
(1)當點B是W的右頂點，且四邊形OABC為菱形時，求此菱形的面積；
(2)當點B不是W的頂點時，判斷四邊形OABC是否可能為菱形，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知點、，動點滿足：，且
（1）求動點的軌跡的方程；
（2）已知圓W： 的切線與軌跡相交于P，Q兩點，求證：以PQ為直徑的圓經(jīng)過坐標原點.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知中心在原點的橢圓C：的一個焦點為F1(0,3)，M(x,4)(x＞0)為橢圓C上一點，△MOF1的面積為.
（1） 求橢圓C的方程；
（2） 是否存在平行于OM的直線l，使得直線l與橢圓C相交于A，B兩點，且以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過原點？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，離心率為，且過點，點A、B分別是橢圓C長軸的左、右端點，點F是橢圓的右焦點，點P在橢圓上，且位于軸上方，.

（1）求橢圓C的方程；
（2）求點P的坐標；
（3）設(shè)M是直角三角PAF的外接圓圓心，求橢圓C上的點到點M的距離的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

求以橢圓的焦點為焦點，且過點的雙曲線的標準方程.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，已知橢圓： 的離心率為 ，點 為其下焦點，點為坐標原點，過 的直線 ：（其中）與橢圓 相交于兩點，且滿足：.

（1）試用  表示 ；
（2）求  的最大值；
（3）若 ，求  的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知曲線：.
（1）若曲線是焦點在軸上的橢圓，求的取值范圍；
（2）設(shè)，過點的直線與曲線交于,兩點，為坐標原點，若為直角三角形，求直線的斜率．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓（）的右焦點為，離心率為.
（Ⅰ）若，求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線與橢圓相交于，兩點，分別為線段的中點. 若坐標原點在以為直徑的圓上，且，求的取值范圍.

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