Question

9．設(shè)f（x）=xln x-ax²+（2a-1）x，a∈R．
（1）令g（x）=f′（x），求g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）已知f（x）在x=1處取得極大值，求正實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）通過討論a的范圍，得到函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合函數(shù)的極大值，求出a的范圍即可．

解答 解：（1）由f′（x）=ln x-2ax+2a，
可得g（x）=ln x-2ax+2a，x∈（0，+∞），
所以g′（x）=$\frac{1}{x}$-2a=$\frac{1-2ax}{x}$，
當(dāng)a≤0，x∈（0，+∞）時(shí)，g′（x）＞0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)a＞0，x∈（0，$\frac{1}{2a}$）時(shí)，g′（x）＞0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞增，
x∈（$\frac{1}{2a}$，+∞）時(shí)，g′（x）＜0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞減．
所以當(dāng)a≤0時(shí)，g（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞）；
當(dāng)a＞0時(shí)，g（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，$\frac{1}{2a}$），單調(diào)減區(qū)間為（$\frac{1}{2a}$，+∞）．…（6分）
（2）由（1）知，f′（1）=0．
①當(dāng)0＜a＜$\frac{1}{2}$時(shí)，$\frac{1}{2a}$＞1，由（1）知f′（x）在（0，$\frac{1}{2a}$）內(nèi)單調(diào)遞增，
可得當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x∈（1，$\frac{1}{2a}$）時(shí)，f′（x）＞0．
所以f（x）在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞減，在（1，$\frac{1}{2a}$）內(nèi)單調(diào)遞增，
所以f（x）在x=1處取得極小值，不合題意．
②當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時(shí)，$\frac{1}{2a}$=1，f′（x）在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞增，在（1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減，
所以當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f′（x）≤0，f（x）單調(diào)遞減，不合題意．
③當(dāng)a＞$\frac{1}{2}$時(shí)，0＜$\frac{1}{2a}$＜1，當(dāng)x∈（$\frac{1}{2a}$，1）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減．
所以f（x）在x=1處取極大值，符合題意．
綜上可知，正實(shí)數(shù)a的取值范圍為（$\frac{1}{2}$，+∞）．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題．