Question

20．已知圓C過(guò)P（2，6），Q（-2，2）兩點(diǎn)，且圓心C在直線3x+y=0上．
（1）求圓C的方程．
（2）若直線l過(guò)點(diǎn)P（0，5）且被圓C截得的線段長(zhǎng)為4$\sqrt{3}$，求l的方程．

Answer 1

分析 （1）把點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)和圓心坐標(biāo)代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用待定系數(shù)法求得系數(shù)的值；
（2）分類討論，斜率存在和斜率不存在兩種情況．
①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，滿足題意，易得直線方程；   
②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)所求直線l的斜率為k，則直線l的方程為：y-5=kx，由點(diǎn)到直線的距離公式求得k的值．

解答 解：（1）方法一　設(shè)圓的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，依題意有$\left\{\begin{array}{l}{2D+6E+F=0}\\{-2D+2E+F=-8}\\{-\frac{3D}{2}-\frac{E}{2}=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{D=4}\\{E=-12}\\{F=24}\end{array}\right.$，
故所求圓的方程為x²+y²+4x-12y+24=0．
（2）如圖所示，|AB|=4$\sqrt{3}$，設(shè)D是線段AB的中點(diǎn)，
則 CD⊥AB，
∴|AD|=2$\sqrt{3}$，|AC|=4．
在Rt△ACD中，可得|CD|=2．
當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，滿足題意，
此時(shí)方程為x=0．      
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)所求直線l的斜率為k，則直線l的方程為：y-5=kx，
即kx-y+5=0．由點(diǎn)C到直線AB的距離公式：
$\frac{|-2k-6+5|}{\sqrt{k2+1}}$=2，得k=$\frac{3}{4}$，此時(shí)直線l的方程為
3x-4y+20=0．          
∴所求直線l的方程為x=0或3x-4y+20=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識(shí)有兩點(diǎn)間的距離公式，點(diǎn)到直線的距離公式，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于中檔題．