Question

4．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=PB=AD=2，四邊形ABCD滿足AB⊥AD，BC∥AD且BC=4，點(diǎn)M為PC的中點(diǎn)，點(diǎn)E為BC邊上的點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：平面ADM⊥平面PBC；
（Ⅱ）當(dāng)$\overrightarrow{BE}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BC}$時(shí)，求點(diǎn)E到平面PDC的距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取PB中點(diǎn)N，連結(jié)MN、AN，證明四邊形ADMN為平行四邊形，AN⊥平面PBC，可得平面ADM⊥平面PBC；
（Ⅱ）當(dāng)$\overrightarrow{BE}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BC}$時(shí)，E是BC的中點(diǎn)，DE=CE=2，利用V_P-CDE=V_E-PCD，求點(diǎn)E到平面PDC的距離．

解答 （Ⅰ）證明：取PB中點(diǎn)N，連結(jié)MN、AN，則
∵M(jìn)是PC中點(diǎn)，∴MN∥BC，MN=$\frac{1}{2}$BC=2，
又∵BC∥AD，∴MN∥AD，MN=AD，
∴四邊形ADMN為平行四邊形，
∵AP⊥AD，AB⊥AD，∴AD⊥平面PAB，
∴AD⊥AN，∴AN⊥MN，
∵AP=AB，∴AN⊥PB，∴AN⊥平面PBC，
∵AN?平面ADM，
∴平面ADM⊥平面PBC；
（Ⅱ）解：∵$\overrightarrow{BE}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BC}$，
∴E是BC的中點(diǎn)，∴DE=CE=2，
△PDC中，PD=CD=2$\sqrt{2}$，PC=$\sqrt{P{A}^{2}+A{C}^{2}}$=2$\sqrt{6}$，
∴S_△PDC=2$\sqrt{3}$，
設(shè)點(diǎn)E到平面PDC的距離為h．則
∵V_P-CDE=V_E-PCD，
∴$\frac{1}{3}×2×\frac{1}{2}×2×2=\frac{1}{3}×2\sqrt{3}×h$，
∴h=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴點(diǎn)E到平面PDC的距離為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查線面以及面面的垂直關(guān)系、點(diǎn)到平面的距離等問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．