Question

5．已知函數(shù)f（x）=$\frac{4x}{{x}^{2}+1}$．
（1）求曲線f（x）上任意一點(diǎn)切線的斜率的取值范圍；
（2）當(dāng)m滿足什么條件時(shí)，f（x）在區(qū)間（2m-1，m）為增函數(shù)．

Answer 1

分析 （1）求得P點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，運(yùn)用換元法化為二次函數(shù)的值域問(wèn)題，即可得到范圍；
（2）求得導(dǎo)數(shù)，可得得到增區(qū)間，根據(jù)單調(diào)性，可得不等式組，注意定義域，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：（1）直線l在P點(diǎn)（x₀，y₀）的切線斜率k=f′（x₀）=$\frac{4-4{{x}_{0}}^{2}}{（1+{{x}_{0}}^{2}）^{2}}$=-$\frac{4}{1+{{x}_{0}}^{2}}$+$\frac{8}{（1+{{x}_{0}}^{2}）^{2}}$，
令t=$\frac{1}{1+{{x}_{0}}^{2}}$，則0＜t＜1，k=8t²-4t=8（t-$\frac{1}{4}$）²-$\frac{1}{2}$，
當(dāng)t=$\frac{1}{4}$時(shí)，k_min=-$\frac{1}{2}$，t=1時(shí)，k_min=4，
∴-$\frac{1}{2}$≤k≤4．
（2）f′（x）=$\frac{4（1-{x}^{2}）}{（1+{x}^{2}）^{2}}$≥0，得-1≤x≤1，
∴f（x）在[-1，1]是增函數(shù)，又f（x）在（2m-1，m）上單調(diào)遞增，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m≤1}\\{2m-1≥-1}\\{2m-1＜m}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{m≤1}\\{m≥0}\\{m＜1}\end{array}\right.$，
則0≤m＜1．
即當(dāng)0≤m＜1時(shí)，f（x）在區(qū)間（2m-1，m）為增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)性，考查換元法的運(yùn)用，以及二次函數(shù)的值域及不等式的解法，屬于中檔題和易錯(cuò)題．