Question

15．設(shè)A（n）表示正整數(shù)n的個(gè)位數(shù)，a_n=A（n²）-A（n），A為數(shù)列{a_n}的前202項(xiàng)和，函數(shù)f（x）=e^x-e+1，若函數(shù)g（x）滿足f[g（x）-$\frac{Ax-1}{{A}^{x}}$]=1，且b_n=g（n）（n∈N^*），則數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為n+3-（2n+3）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ．

Answer 1

分析 先根據(jù)n的個(gè)位數(shù)的不同取值推導(dǎo)數(shù)列的周期，由周期可求得A=2，再由函數(shù)f（x）為R上的增函數(shù)，求得g（x）的解析式，即有b_n=g（n）=1+（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，再由數(shù)列的求和方法：分組求和和錯(cuò)位相減法，化簡(jiǎn)整理即可得到所求和．

解答 解：n的個(gè)位數(shù)為1時(shí)有：a_n=A（n²）-A（n）=0，
n的個(gè)位數(shù)為2時(shí)有：a_n=A（n²）-A（n）=4-2=2，
n的個(gè)位數(shù)為3時(shí)有：a_n=A（n²）-A（n）=9-3=6，
n的個(gè)位數(shù)為4時(shí)有：a_n=A（n²）-A（n）=6-4=2，
n的個(gè)位數(shù)為5時(shí)有：a_n=A（n²）-A（n）=5-5=0，
n的個(gè)位數(shù)為6時(shí)有：a_n=A（n²）-A（n）=6-6=0，
n的個(gè)位數(shù)為7時(shí)有：a_n=A（n²）-A（n）=9-7=2，
n的個(gè)位數(shù)為8時(shí)有：a_n=A（n²）-A（n）=4-8=-4，
n的個(gè)位數(shù)為9時(shí)有：a_n=A（n²）-A（n）=1-9=-8，
n的個(gè)位數(shù)為0時(shí)有：a_n=A（n²）-A（n）=0-0=0，
每10個(gè)一循環(huán)，這10個(gè)數(shù)的和為：0，
202÷10=20余2，余下兩個(gè)數(shù)為：a₂₀₁=0，a₂₀₂=2，
∴數(shù)列{a_n}的前202項(xiàng)和等于：a₂₀₁+a₂₀₂=0+2=2，
即有A=2．
函數(shù)函數(shù)f（x）=e^x-e+1為R上的增函數(shù)，且f（1）=1，
f[g（x）-$\frac{Ax-1}{{A}^{x}}$]=1=f（1），
可得g（x）=1+$\frac{Ax-1}{{A}^{x}}$=1+$\frac{2x-1}{{2}^{x}}$，
則g（n）=1+（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
即有b_n=g（n）=1+（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
則數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為n+[1•（$\frac{1}{2}$）¹+3•（$\frac{1}{2}$）²+5•（$\frac{1}{2}$）³+…+（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ]，
可令S=1•（$\frac{1}{2}$）¹+3•（$\frac{1}{2}$）²+5•（$\frac{1}{2}$）³+…+（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
$\frac{1}{2}$S=1•（$\frac{1}{2}$）²+3•（$\frac{1}{2}$）³+5•（$\frac{1}{2}$）⁴+…+（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
兩式相減可得$\frac{1}{2}$S=$\frac{1}{2}$+2[（$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{1}{2}$）³+（$\frac{1}{2}$）⁴+…+（$\frac{1}{2}$）ⁿ]-（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹
=$\frac{1}{2}$+2•$\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$-（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
化簡(jiǎn)可得S=3-（2n+3）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
則數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為n+3-（2n+3）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ．
故答案為：n+3-（2n+3）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查數(shù)列的求和方法：分組求和和錯(cuò)位相減法，同時(shí)考查歸納思想和函數(shù)思想，運(yùn)用不完全歸納和函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵，屬于難題．