Question

18．已知函數(shù)f（x）=axlnx+bx（a≠0）在（1，f（1））處的切線與x軸平行，
（1）試討論f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性；
（2）若存在a∈（e，+∞），對任意的${x_1}，{x_2}∈[\frac{1}{3}e，3e]$都有|f（x₁）-f（x₂）|＜（m+eln3）a+3e成立，求實數(shù)m的取值范圍．（e=2.71828…）

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出f（x）的最大值和最小值，問題轉(zhuǎn)化為m＞2eln3+1-$\frac{3e}{a}$，令g（a）=2eln3+1-$\frac{3e}{a}$，（a∈（e，+∞）），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出m的范圍即可．

解答 解：（1）∵f′（x）=alnx+a+b，
∴f′（1）=a+b=0，故b=-a，
∴f（x）=axlnx-ax，且f′（x）=alnx，
當a＞0時，x∈（0，1）時，f′（x）＜0，x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增；
a＜0時，x∈（0，1）時，f′（x）＞0，x∈（1，+∞）時，f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減；
（2）∵a∈（e，+∞），
∴f（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增，
又f（$\frac{1}{3}$e）=$\frac{1}{3}$aeln$\frac{1}{3}$＜0，f（1）=-a，f（3e）=3aeln3＞0，
∴x∈[$\frac{1}{3}$e，3e]時，f（x）_max=f（3e）=3aeln3，f（x）_min=f（1）=-a，
∴若對任意x₁，x₂∈[$\frac{1}{3}$e，3e]都有|f（x₁）-f（x₂）|＜（m+eln3）a+3e成立，
只需（m+eln3）a+3e＞f（3e）-f（1）=3aeln3+a，
即m＞2eln3+1-$\frac{3e}{a}$，
令g（a）=2eln3+1-$\frac{3e}{a}$，（a∈（e，+∞）），
易知g（a）＞g（e）=2eln3-2，
∵存在a∈（e，+∞），使得m＞2eln3+1-$\frac{3e}{a}$成立，
∴m＞2eln3-2，
故實數(shù)m的范圍是（2eln3-2，+∞）．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導數(shù)的應用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．