Question

2．已知函數f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤$\frac{π}{2}$），當x=-$\frac{π}{4}$時函數f（x）能取得最小值，當x=$\frac{π}{4}$時函數y=f（x）能取得最大值，且f（x）在區(qū)間（$\frac{π}{18}$，$\frac{5π}{36}$）上單調．則當ω取最大值時φ的值為-$\frac{π}{2}$．

Answer 1

分析 根據x=-$\frac{π}{4}$時f（x）取得最小值，x=$\frac{π}{4}$時f（x）取得最大值，得出（n+$\frac{1}{2}$）•T=$\frac{π}{2}$，求出T以及ω的值；再由f（x）在（$\frac{π}{18}$，$\frac{5π}{36}$）上單調，得出T以及ω的取值；討論ω的取值，求出滿足條件的ω的最大值以及對應φ的值．

解答 解：當x=-$\frac{π}{4}$時f（x）能取得最小值，x=$\frac{π}{4}$時f（x）能取得最大值，
∴（n+$\frac{1}{2}$）•T=$\frac{π}{4}$-（-$\frac{π}{4}$），
即T=$\frac{π}{2n+1}$，（n∈N）
解得ω=4n+2，（n∈N）
即ω為正偶數；
∵f（x）在（$\frac{π}{18}$，$\frac{5π}{36}$）上單調，
∴$\frac{5π}{36}$-$\frac{π}{18}$=$\frac{π}{12}$≤$\frac{T}{2}$，
即T=$\frac{2π}{ω}$≥$\frac{π}{6}$，
解得ω≤12；
當ω=12時，f（x）=cos（12x+φ），
且x=-$\frac{π}{4}$，12×（-$\frac{π}{4}$）+φ=-π+2kπ，k∈Z，
由|φ|≤$\frac{π}{2}$，得φ=0，
此時f（x）=cos12x在（$\frac{π}{18}$，$\frac{5π}{36}$）不單調，不滿足題意；
當ω=10時，f（x）=cos（10x+φ），
且x=-$\frac{π}{4}$，10×（-$\frac{π}{4}$）+φ=-π+2kπ，k∈Z，
由|φ|≤$\frac{π}{2}$，得φ=-$\frac{π}{2}$，
此時f（x）=cos（10x-$\frac{π}{2}$）在（$\frac{π}{18}$，$\frac{5π}{36}$）單調，滿足題意；
故ω的最大值為10，此時φ的值為-$\frac{π}{2}$．
故答案為：-$\frac{π}{2}$．

點評 本題考查了余弦型函數的圖象和性質的應用問題，也考查了轉化思想與分類討論思想的應用問題，難度較大．