Question

7．當x∈[1，2]時，不等式2^x-log${\;}_{\frac{1}{2}}$x+m≤0恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是（-∞，-5]．

Answer 1

分析 把不等式2^x-log${\;}_{\frac{1}{2}}$x+m≤0變形為2^x+log₂x≤-m，令f（x）=2^x+log₂x，則f（x）在[1，2]上為增函數(shù)，求其最大值后可得-m的范圍，進一步得到實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：當x∈[1，2]時，不等式2^x-log${\;}_{\frac{1}{2}}$x+m≤0，
即2^x+log₂x≤-m恒成立，
令f（x）=2^x+log₂x，則f（x）在[1，2]上為增函數(shù)，
∴$f（x）_{max}=f（2）={2}^{2}+lo{g}_{2}2=5$，
∴-m≥5，則m≤-5．
∴實數(shù)m的取值范圍是（-∞，-5]．
故答案為：（-∞，-5]．

點評 本題考查恒成立問題，考查了函數(shù)單調性的性質，體現(xiàn)了分離變量法，是中檔題．