Question

5．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的面積為4，過(guò)原點(diǎn)的直線l（斜率不為零）與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂為橢圓的左、右焦點(diǎn)，則四邊形AF₁BF₂的周長(zhǎng)為（　�。�

• A． 4
• B． $4\sqrt{3}$
• C． 8
• D． $8\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由題意可知：離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，即4c²=3a²，根據(jù)菱形的面積公式可知S=$\frac{1}{2}$×2a×2b=4，即ab=2，由a²=c²+b²，解得：a=2，b=1，由橢圓的定義可知：四邊形AF₁BF₂的周長(zhǎng)4a=8．

解答 解：由題意可知：橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$焦點(diǎn)在x軸上，
由橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，即4c²=3a²，
由四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的面積為4，根據(jù)菱形的面積公式可知S=$\frac{1}{2}$×2a×2b=4，即ab=2，
由a²=c²+b²，解得：a=2，b=1，
則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$，
由橢圓的定義可知：四邊形AF₁BF₂的周長(zhǎng)4a=8，
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查橢圓的定義的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．