Question

14．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，過F₁且與x軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點，直線AF₂與橢圓的另一個交點為C，若${S}_{△ABC}=3{S}_{△BC{F}_{2}}$，則橢圓的離心率為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{5}}{5}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{10}}{5}$
• D． $\frac{3\sqrt{3}}{10}$

Answer 1

分析 由題意可知：可設(shè)A（-c，$\frac{^{2}}{a}$），C（x，y），由${S}_{△ABC}=3{S}_{△BC{F}_{2}}$，可得$\overrightarrow{A{F}_{2}}$=2$\overrightarrow{{F}_{2}C}$，根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求得x=2c，y=-$\frac{^{2}}{2a}$，代入橢圓方程，根據(jù)離心率公式即可求得橢圓的離心率．

解答 解：橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）焦點在x軸上，設(shè)橢圓的左、右焦點分別為F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），
由x=-c，代入橢圓方程可得y=±$\frac{^{2}}{a}$，可設(shè)A（-c，$\frac{^{2}}{a}$），C（x，y），
由${S}_{△ABC}=3{S}_{△BC{F}_{2}}$，
可得$\overrightarrow{A{F}_{2}}$=2$\overrightarrow{{F}_{2}C}$，即有（2c，-$\frac{^{2}}{a}$）=2（x-c，y），即2c=2x-2c，$\frac{^{2}}{a}$=2y，
可得：x=2c，y=-$\frac{^{2}}{2a}$，
代入橢圓方程可得：$\frac{4{c}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{^{2}}{4{a}^{2}}=1$，由b²=a²-c²，根據(jù)離心率公式可知：e=$\frac{c}{a}$，
整理得：16e²+1-e²=4，解得e=±$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
由0＜e＜1，則e=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
故選A．

點評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)，考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查計算能力，屬于中檔題．