Question

2．已知函數(shù)f（x）=x|x-a|+b，x∈R：
（1）若a=1，函數(shù)f（x）在[0，+∞）上有三個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（2）若常數(shù)b＜0，且對任意x∈[0，1]，不等式f（2^x）＜0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意可得-b=x|x-1|，即有直線y=-b和函數(shù)y=x|x-1|的圖象有3個交點(diǎn)．畫出函數(shù)y=x|x-1|的圖象，通過圖象，即可得到所求b的范圍；
（2）由題意可得2^x|2^x-a|+b＜0，即有|2^x-a|＜$\frac{-b}{{2}^{x}}$，即2^x-$\frac{-b}{{2}^{x}}$＜a＜2^x+$\frac{-b}{{2}^{x}}$，令t=2^x（1≤t≤2），運(yùn)用對勾函數(shù)的單調(diào)性，可得不等式左右兩邊函數(shù)的最值，注意討論b的范圍，即可得到所求a的范圍．

解答 解：（1）a=1時，f（x）=x|x-1|+b，
由函數(shù)f（x）在[0，+∞）上有三個零點(diǎn)，可得
-b=x|x-1|，即有直線y=-b和函數(shù)y=x|x-1|的圖象有3個交點(diǎn)．
畫出函數(shù)y=x|x-1|=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-x，x≥1}\\{x-{x}^{2}，x＜1}\end{array}\right.$的圖象，
由圖象可得0＜-b＜$\frac{1}{4}$，
即為-$\frac{1}{4}$＜b＜0；
（2）由常數(shù)b＜0，且對任意x∈[0，1]，不等式f（2^x）＜0恒成立，
可得2^x|2^x-a|+b＜0，即有
|2^x-a|＜$\frac{-b}{{2}^{x}}$，即2^x-$\frac{-b}{{2}^{x}}$＜a＜2^x+$\frac{-b}{{2}^{x}}$，
令t=2^x（1≤t≤2），t-$\frac{-b}{t}$在[1，2]遞增，
可得t=2，即x=1時，取得最大值2+$\frac{2}$；
當(dāng)$\sqrt{-b}$≥2，即b≤-4時，t+$\frac{-b}{t}$在[1，2]遞減，
可得t=2，即x=1時，t+$\frac{-b}{t}$取得最小值2-$\frac{2}$；
當(dāng)$\sqrt{-b}$≤1，即-1≤b＜0時，t+$\frac{-b}{t}$在[1，2]遞增，
可得t=1，即x=0時，t+$\frac{-b}{t}$取得最小值1-b；
當(dāng)1＜$\sqrt{-b}$＜2，即-4＜b＜-1時，t+$\frac{-b}{t}$在[1，$\sqrt{-b}$]遞減，
（$\sqrt{-b}$，2）遞增，可得t=$\sqrt{-b}$，即x=log₂$\sqrt{-b}$時，取得最小值2$\sqrt{-b}$．
綜上可得，b≤-4時，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（2+$\frac{2}$，2-$\frac{2}$）；
-1≤b＜-$\frac{2}{3}$時，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（2+$\frac{2}$，1-b）；
-$\frac{2}{3}$≤b＜0時，2+$\frac{2}$＞1-b，a的取值范圍是∅；
-4＜b＜-1時，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（2+$\frac{2}$，2$\sqrt{-b}$）．

點(diǎn)評 本題考查帶絕對值的函數(shù)的零點(diǎn)和恒成立問題的解法，注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合的思想方法，考查分類討論的思想方法和參數(shù)分離的思想，以及換元法，考查運(yùn)算能力，屬于難題．