Question

10．已知f（x）=2cos²x-2asinx+a²-2a+1（0≤x≤$\frac{π}{2}$）的最小值為-2，求實數(shù)a的值，并求此時f（x）的最大值．

Answer 1

分析 化簡f（x）=2cos²x-2asinx+a²-2a+1=f（x）=2（1-sin²x）-2asinx+a²-2a+1=-2（sinx+$\frac{a}{2}$）²+$\frac{3}{2}{a}^{2}$-2a+3
結(jié)合0≤cosx≤1分類討論由二次函數(shù)區(qū)間的最值可得．

解答 解：化簡f（x）=2cos²x-2asinx+a²-2a+1可得f（x）=2（1-sin²x）-2asinx+a²-2a+1
=-2（sinx+$\frac{a}{2}$）²+$\frac{3}{2}{a}^{2}$-2a+3
∵0≤x≤$\frac{π}{2}$，∴0≤sinx≤1，
令g（t）=-2（t+$\frac{a}{2}$）²+$\frac{3}{2}{a}^{2}$-2a+3，0≤t≤1
當-$\frac{a}{2}$$≥\frac{1}{2}$即a≤-1時，即t=0時函數(shù)g（t）取最小值，a²-2a+3=-2，無解
當-$\frac{a}{2}＜\frac{1}{2}$時，即a≥-1時，即t=1時，函數(shù)g（t）取最小值，a²-4a+1=-2，解得a=1，a=3（符合題意）
此時f（x）的最大值為g（0）=2或6．

點評 本題考查三角函數(shù)的最值，涉及二次函數(shù)區(qū)間的最值和分類討論的思想，屬中檔題．