Question

設點P是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）與圓x²+y²=3b²的一個交點，F₁，F₂分別是橢圓的左、右焦點，且|PF₁|=3|PF₂|，則橢圓的離心率為

 

．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：根據已知條件容易判斷出P點在y軸的右側，所以聯立橢圓與圓的方程可求出P點坐標，根據橢圓的定義及條件|PF₁|=3|PF₂|可得到|PF2|=

a

2

，所以根據兩點間的距離公式即可得到關于a，b的方程，通過解方程可得到a，b的關系式：a=2

2

b，所以可得到a，c的關系式：7a²=8c²，從而求出離心率

c

a

．

解答： 解：根據已知條件知P點在y軸右側；
由

x2 a2 + y2 b2 =1 x2+y2=3b2

得，

x= 2 ab c y=± b 3c2-2a2 c

；
∵|PF₁|+|PF₂|=2a，∴由|PF₁|=3|PF₂|得，|PF2|=

a

2

；
∴|PF2|2=

a2

4

，F₂（c，0）；
∴(

2 ab

c

-c)2+

b2(3c2-2a2)

c2

=

a2

4

，整理得：a=2

2

b，或a=

2 2

3

b（舍去）；
∴a²=8b²=8a²-8c²；
∴7a²=8c²；
∴

c

a

=

14

4

．
故答案為：

14

4

．

點評：考查橢圓的標準方程，橢圓的焦點，以及橢圓的定義，兩點間距離公式，離心率的定義．