Question

【題目】已知對任意平面向量，把繞其起點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得到向量，叫做把點繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得到點.

（1）已知平面內(nèi)點，點.把點繞點沿順時針方向旋轉(zhuǎn)后得到點，求點的坐標；

（2）設(shè)平面內(nèi)曲線上的每一點繞坐標原點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)后得到的點的軌跡是曲線，求原來曲線的方程，并求曲線上的點到原點距離的最小值.

Answer 1

【答案】（1） （2）；

【解析】

設(shè)則,，根據(jù)題意, 點繞點沿順時針方向旋轉(zhuǎn),利用代入公式求解即可;

設(shè)是曲線上任一點，是點繞坐標原點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)后得到的曲線上的點，則，,代入題中的公式,列出與的關(guān)系式,利用相關(guān)點法求出曲線的方程,由兩點間距離公式表示出,令,考慮函數(shù)，通過構(gòu)造對勾函數(shù)并判斷其單調(diào)性求出最小值即可求出的最小值.

（1）由題意知,，設(shè)，則，

由條件得

解之得，∴.

（2）設(shè)是曲線上任一點，是點繞坐標原點

沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)后得到的曲線上的點，

所以，，

則，即

又在曲線上,所以，

即,整理得，

故曲線的方程是，

所以曲線C上的點到原點的距離為，

令，則，考慮函數(shù)，

任取且,則，

當時，，，

所以，即，

所以在上單調(diào)遞減，

同理可證在上單調(diào)遞增，

所以.

故，即曲線上的點到原點距離的最小值為.