Question

7．已知向量$\overrightarrow{a}$=（4，5cosα），$\overrightarrow$=（3，-4tanα），α∈（0，$\frac{π}{2}$），$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$．
（1）求|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|；
（2）求cos（$\frac{3π}{2}$+α）-sin（α-π）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$．可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=0，求解出sinα，可得向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$的坐標(biāo)．即可求|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|；
（2）利用誘導(dǎo)公式化簡后，將α帶入計算即可．

解答 解：（1）由題意，$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$．
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=0，即12-20sinα=0，可得sinα=$\frac{3}{5}$．
∵α∈（0，$\frac{π}{2}$）
∴cosα=$\frac{4}{5}$，
tanα=$\frac{3}{4}$．
∴向量$\overrightarrow{a}$=（4，4），$\overrightarrow$=（3，-3），
那么：$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$=（1，7）
則|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=$\sqrt{1+49}=5\sqrt{2}$
（2）由cos（$\frac{3π}{2}$+α）-sin（α-π）=sinα+sinα=2sinα
由（1）可得sinα=$\frac{3}{5}$．
∴cos（$\frac{3π}{2}$+α）-sin（α-π）=2sinα=$\frac{6}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查了向量的計算和同角三角函數(shù)的計算，誘導(dǎo)公式的化解．屬于基礎(chǔ)題．