Question

6．四面體A-BCD中，AB=CD=10，AC=BD=2$\sqrt{34}$，AD=BC=2$\sqrt{41}$，則四面體A-BCD外接球的表面積為（　　）

• A． 50π
• B． 100π
• C． 200π
• D． 300π

Answer 1

分析 由題意可采用割補法，考慮到四面體ABCD的四個面為全等的三角形，所以可在其每個面補上一個以10，2$\sqrt{34}$，2$\sqrt{41}$為三邊的三角形作為底面，且以分別為x，y，z，長、兩兩垂直的側棱的三棱錐，從而可得到一個長、寬、高分別為x，y，z的長方體，由此能求出球的半徑，進而求出球的表面積．

解答 解：由題意可采用割補法，考慮到四面體ABCD的四個面為全等的三角形，
所以可在其每個面補上一個以10，2$\sqrt{34}$，2$\sqrt{41}$為三邊的三角形作為底面，
且以分別為x，y，z，長、兩兩垂直的側棱的三棱錐，
從而可得到一個長、寬、高分別為x，y，z的長方體，
并且x²+y²=100，x²+z²=136，y²+z²=164，
設球半徑為R，則有（2R）²=x²+y²+z²=200，
∴4R²=200，
∴球的表面積為S=4πR²=200π．
故選C．

點評 本題考查球的表面積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意構造法的合理運用．