Question

1．已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）和偶函數(shù)g（x）滿足f（x）=2g（x）+$\frac{x-4}{{x}^{2}+1}$，則下列結(jié)論中正確的序號是①④
①f（$\frac{1}{x}$）=f（x）；
②f（x）在（$\frac{1}{2}$，+∞）上單調(diào)遞減；
③g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
④若f（$\frac{1}{{x}^{2}+1}$）+f（4x-4x²-2）≥0，則x∈（-∞，$\frac{1}{3}$]∪[1，+∞）

Answer 1

分析 求出函數(shù)的解析式，再進(jìn)行驗(yàn)證，即可得出結(jié)論．

解答 解：由題意，-f（x）=2g（x）+$\frac{-x-4}{{x}^{2}+1}$，∴f（x）=$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$，g（x）=$\frac{2}{{x}^{2}+1}$；
①f（$\frac{1}{x}$）=$\frac{\frac{2}{x}}{\frac{1}{{x}^{2}}+1}$=$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$=f（x），正確；
②∵f（x）=$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$，∴f′（x）=$\frac{2（1-{x}^{2}）}{（{x}^{2}+1）^{2}}$，f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，不正確；
③g′（x）=$\frac{-4x}{（{x}^{2}+1）^{2}}$，∴g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，不正確；
④利用①f（$\frac{1}{x}$）=$\frac{\frac{2}{x}}{\frac{1}{{x}^{2}}+1}$=$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$=f（x），知f（$\frac{1}{{x}^{2}+1}$）=f（x²+1），故f（$\frac{1}{{x}^{2}+1}$）+f（4x-4x²-2）≥0?f（x²+1）≥f（4x²-4x+2）=f（（2x-1）²+1），再利用f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，得x²+1≤-4x+4x²+2，∴3x²-4x+1≥0，∴x∈（-∞，$\frac{1}{3}$]∪[1，+∞），正確．
故答案為①④．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．