Question

13．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{3}}{3}$-x²-ax+ln（ax+1）（a∈R）．
（Ⅰ）若x=2為f（x）的極值點(diǎn)，求a的值；
（Ⅱ）若f（x）在[3，+∞）單調(diào)遞增，求a的取值范圍．
（Ⅲ）當(dāng)a=-1時(shí)，方程f（x）=$\frac{{x}^{3}}{3}$+$\frac{1-x}$有實(shí)數(shù)根，求b的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求導(dǎo)，由題意可知f′（2）=0，即可求得a的值；
（Ⅱ）求導(dǎo)，f′（x）=$\frac{x[a{x}^{2}+（1-2a）x-（{a}^{2}+2）]}{ax+1}$≥0在區(qū)間[3，+∞）上恒成立，分類討論，當(dāng)a=0，f′（x）＞0恒成立，a=0符合題意；當(dāng)a≠0時(shí)，由函數(shù)的定義域可知a＞0，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性可得只需要g（3）≥0恒成立，即可求得a的取值范圍；
（Ⅲ）由題意可知：-x²+x+ln（1-x）=$\frac{1-x}$，則b=t（lnt+t-t²）在（0，+∞）上有解，t=1-x，構(gòu)造輔助函數(shù)，求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性及最值的關(guān)系，即可求得b的最大值．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=$\frac{{x}^{3}}{3}$-x²-ax+ln（ax+1），求導(dǎo)，f′（x）=x²-2x-a+$\frac{a}{ax+1}$，
由x=2為f（x）的極值點(diǎn)，則f′（2）=0，即-a+$\frac{a}{2a+1}$=0，解得：a=0，
當(dāng)a=0，f′（x）=x²-2x=x（x-2），
從而x=2為函數(shù)的極值點(diǎn)，成立，
∴a的值為0；
（Ⅱ）f（x）在[3，+∞）單調(diào)遞增，則f′（x）=x²-2x-a+$\frac{a}{ax+1}$=$\frac{x[a{x}^{2}+（1-2a）x-（{a}^{2}+2）]}{ax+1}$，
則f′（x）=$\frac{x[a{x}^{2}+（1-2a）x-（{a}^{2}+2）]}{ax+1}$≥0在區(qū)間[3，+∞）上恒成立，
①當(dāng)a=0，f′（x）=x（x-2），在區(qū)間[3，+∞）上恒成立，
∴f（x）在區(qū)間[3，+∞）上單調(diào)遞增，故a=0符合題意；
②當(dāng)a≠0時(shí)，由f（x）的定義域可知：ax+1＞0，
若a＜0，則不滿足條件ax+1＞0對(duì)區(qū)間[3，+∞）上恒成立，
則a＞0，
則ax²+（1-2a）x-（a²+2）≥0，對(duì)區(qū)間[3，+∞）上恒成立，
令g（x）=ax²+（1-2a）x-（a²+2），其對(duì)稱軸為x=1-$\frac{1}{2a}$，
由a＞0，則1-$\frac{1}{2a}$＜1，
從而g（x）≥0在區(qū)間[3，+∞）上恒成立，
只需要g（3）≥0即可，
由g（3）=-a²+3a+1≥0，解得：$\frac{3-\sqrt{13}}{2}$≤a≤$\frac{3+\sqrt{13}}{2}$，
由a＞0，則0＜a≤$\frac{3+\sqrt{13}}{2}$，
綜上所述，a的取值范圍[0，$\frac{3+\sqrt{13}}{2}$]；
（Ⅲ）當(dāng)a=-1時(shí)，方程f（x）=$\frac{{x}^{3}}{3}$+$\frac{1-x}$，轉(zhuǎn)化成-x²+x+ln（1-x）=$\frac{1-x}$，
即b=-x²（1-x）+x（1-x）+（1-x）ln（1-x），令t=1-x，
則b=t（lnt+t-t²）在（0，+∞）上有解，
令h（t）=lnt+t-t²，（t＞0）
求導(dǎo)h′（t）=$\frac{1}{t}$+1-2t=$\frac{（2t+1）（t-1）}{t}$，
當(dāng)0＜t＜1時(shí)，h′（t）＞0，故h（t）在（0，1）上單調(diào)遞增；
當(dāng)t＞1時(shí)，h′（t）＜0，故h（t）在（1，+∞）單調(diào)遞減；
h（t）在（0，+∞）上的最大值為h（t）_max=h（1）=0，
此時(shí)x=1-t=0，b=t（lnt+t-t²）=0，
當(dāng)a=-1時(shí)，方程f（x）=$\frac{{x}^{3}}{3}$+$\frac{1-x}$有實(shí)數(shù)根，求b的最大值0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性及最值，二次函數(shù)的性質(zhì)，考查計(jì)算能力，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于難題．