4．已知點F，A是橢圓C：$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$的左焦點和上頂點，若點P是橢圓C上一動點，則△PAF周長的最大值為16．

分析 根據(jù)橢圓的定義，丨PF丨+丨PF2丨=2a=8，丨AF丨+丨AF2丨=2a=8，則l=丨AF丨+丨PF丨+丨PA丨≤丨AF丨+丨PF丨+丨PF2丨+丨AF2丨=4a=16，即可求得△PAF周長的最大值．

解答 解：橢圓C：$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$，a=4，b=2$\sqrt{2}$，c=2，則左焦點（-2，0）和上頂點（0，2$\sqrt{2}$），
則橢圓的右焦點F2（-2，0），
由橢圓的定義丨PF丨+丨PF2丨=2a=8，丨AF丨+丨AF2丨=2a=8，
∴△PAF周長l：l=丨AF丨+丨PF丨+丨PA丨≤丨AF丨+丨PF丨+丨PF2丨+丨AF2丨=4a=16，
當(dāng)且僅當(dāng)AP過F2時△PAF周長取最大值，
∴△PAF周長的最大值16，
故答案為：16．

點評 本題考查橢圓的性質(zhì)及橢圓的定義，考查計算能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．

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