分析 (1)根據(jù)條件即可得出a-b≠0時,$\frac{f(a)+f(-b)}{a+(-b)}>0$恒成立,進而得出$\frac{f(a)-f(b)}{a-b}>0$恒成立,根據(jù)增函數(shù)定義即可得出f(x)在[-1,1]上單調(diào)遞增;
(2)根據(jù)(1)得出的f(x)的單調(diào)性,便可由$f(x+\frac{1}{2})<f(\frac{1}{x-1})$得出$-1≤x+\frac{1}{2}<\frac{1}{x-1}≤1$,解該不等式即可得出原不等式的解集.
解答 解:(1)∵當a,b∈[-1,1],且a+b≠0時,$\frac{f(a)+f(b)}{a+b}>0$恒成立;
∴$\frac{f(a)+f(-b)}{a+(-b)}>0$,且f(-b)=-f(b);
∴$\frac{f(a)-f(b)}{a-b}>0$;
∴a<b時,f(a)<f(b);
∴f(x)在[-1,1]上是單調(diào)增函數(shù);
(2)∵f(x)在[-1,1]上是單調(diào)增函數(shù),且$f(x+\frac{1}{2})<f(\frac{1}{x-1})$;
∴$-1≤x+\frac{1}{2}<\frac{1}{x-1}≤1$;
解得$-\frac{3}{2}≤x<-1$;
故所求不等式的解集為$[-\frac{3}{2},-1)$.
點評 考查增函數(shù)的定義,根據(jù)增函數(shù)定義判斷函數(shù)單調(diào)性的方法,根據(jù)函數(shù)單調(diào)性解不等式的方法.
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A. | y=|x| | B. | y=x2+1 | C. | y=x3 | D. | y=sinx(x∈[0,$\frac{π}{2}$]) |
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A. | $\frac{4}{3}$ | B. | $-\frac{4}{3}$ | C. | 2 | D. | -2 |
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A. | f(-2)<f(π)<f(-3) | B. | f(π)<f(-2)<f(-3) | C. | f(-2)<f(-3)<f(π) | D. | f(-3)<f(-2)<f(π) |
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A. | $8\sqrt{3}$ | B. | $6\sqrt{3}$ | C. | 5 | D. | $\sqrt{19}$ |
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A. | 6 | B. | 8 | C. | 7 | D. | 9 |
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