Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為等腰梯形，，其中點(diǎn)在以為直徑的圓上，，，，平面平面.

（1）證明：平面.

（2）設(shè)點(diǎn)是線段（不含端點(diǎn)）上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)三棱錐的體積為1時(shí)，求異面直線與所成角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

（1）利用余弦定理，由勾股定理可得，再根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得平面；（2）設(shè)，則，由，解得，即點(diǎn)是線段的中點(diǎn). 取的中點(diǎn)為，連接，可證明四邊形為平行四邊形，從而，且，可得為異面直線與所成角（或補(bǔ)角），再利用余弦定理可得結(jié)果.

（1）連接，，因?yàn)辄c(diǎn)在以為直徑的圓上，所以.

因?yàn)?/span>，所以，.

所以.

因?yàn)?/span>為等腰梯形，，

所以.

又因?yàn)?/span>，，

所以，從而得.

又因?yàn)槠矫?/span>平面，平面平面，

所以平面.

（2）由（1）得，

設(shè)，則，

所以，解得，

即點(diǎn)是線段的中點(diǎn).

取的中點(diǎn)為，連接，則由（1）及條件得，且，

所以四邊形為平行四邊形，從而，且，

所以為異面直線與所成角（或補(bǔ)角）.

因?yàn)?/span>，所以.

因?yàn)?/span>，所以，

所以，

所以，

即異面直線與所成角的余弦值為.