【題目】已知橢圓:過點,且它的焦距是短軸長的倍.
(1)求橢圓的方程.
(2)若,是橢圓上的兩個動點(,兩點不關(guān)于軸對稱),為坐標原點,,的斜率分別為,,問是否存在非零常數(shù),使當時,的面積為定值?若存在,求的值;若不存在,請說明理由.
【答案】(1);(2)存在這樣的常數(shù),此時.
【解析】
(1)將點的坐標代入橢圓方程,結(jié)合和列方程組,解方程組求得橢圓的標準方程.(2)設(shè)直線的方程為和兩點的坐標,將兩點兩點坐標代入,化簡得到①.聯(lián)立直線的方程和橢圓方程,寫出韋達定理,利用點到直線距離公式和弦長公式求得三角形的面積的表達式,結(jié)合①解得和的值.
解:(1)因為橢圓:過點,
所以,
又因為該橢圓的焦距是短軸長的倍,所以,從而.
聯(lián)立方程組,解得,所以.
(2)設(shè)存在這樣的常數(shù),使,的面積為定值.設(shè)直線的方程為,點,點,則由知,,所以.①
聯(lián)立方程組,消去得.
所以,
點到直線的距離,
的面積.④
將②③代入①得,
化簡得,⑤
將⑤代入④得
,
要使上式為定值,只需,
即需,從而,此時,,
所以存在這樣的常數(shù),此時.
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【題目】(1)集合,或,對于任意,定義,對任意,定義,記為集合的元素個數(shù),求的值;
(2)在等差數(shù)列和等比數(shù)列中,,,是否存在正整數(shù),使得數(shù)列的所有項都在數(shù)列中,若存在,求出所有的,若不存在,說明理由;
(3)已知當時,有,根據(jù)此信息,若對任意,都有,求的值.
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【題目】設(shè)拋物線C的頂點在原點,焦點F在y軸上,開口向上,焦點到準線的距離為
(1)求拋物線的標準方程;
(2)已知拋物線C過焦點F的動直線l交拋物線于A、B兩點,O為坐標原點,求證: 為定值.
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【題目】某網(wǎng)站用“100分制”調(diào)查一社區(qū)人們的幸福度.現(xiàn)從調(diào)查人群中隨機抽取10名,以下莖葉圖記錄了他們的幸福度分數(shù)(以十位數(shù)字為莖,個位數(shù)字為葉);若幸福度不低于95分,則稱該人的幸福度為“極幸福”.
(1)從這10人中隨機選取3人,記表示抽到“極幸福”的人數(shù),求的分布列及數(shù)學期望;
(2)以這10人的樣本數(shù)據(jù)來估計整個社區(qū)的總體數(shù)據(jù),若從該社區(qū)(人數(shù)很多)任選3人,記表示抽到“極幸福”的人數(shù),求的數(shù)學期望和方差.
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【題目】為響應市政府提出的以新舊動能轉(zhuǎn)換為主題的發(fā)展戰(zhàn)略,某公司花費100萬元成本購買了1套新設(shè)備用于擴大生產(chǎn),預計該設(shè)備每年收入100萬元,第一年該設(shè)備的各種消耗成本為8萬元,且從第二年開始每年比上一年消耗成本增加8萬元.
(1)求該設(shè)備使用x年的總利潤y(萬元)與使用年數(shù)x(x∈N*)的函數(shù)關(guān)系式(總利潤=總收入﹣總成本);
(2)這套設(shè)備使用多少年,可使年平均利潤最大?并求出年平均利潤的最大值.
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【題目】在的二項展開式中,所有項的二項式系數(shù)之和為.
(1)求展開式的常數(shù)項:
(2)求展開式中所有奇數(shù)項的系數(shù)和.
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【題目】如圖,在四棱錐中,底面為等腰梯形,,其中點在以為直徑的圓上,,,,平面平面.
(1)證明:平面.
(2)設(shè)點是線段(不含端點)上一動點,當三棱錐的體積為1時,求異面直線與所成角的余弦值.
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【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為正方形,平面PAD⊥平面ABCD,點M在線段PPD//平面MAC,PA=PD=,AB=4.
(I)求證:M為PB的中點;
(II)求二面角B-PD-A的大;
(III)求直線MC與平面BDP所成角的正弦值.
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【題目】如圖,在四棱錐中,底面是矩形,平面,,點、分別在線段、上,且,其中,連接,延長與的延長線交于點,連接.
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)若時,求二面角的正弦值;
(Ⅲ)若直線與平面所成角的正弦值為時,求值.
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