Question

5．如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直棱柱，AB⊥AC，AB=AC=AA₁=2，點M，N分別是A₁B和A₁C的中點．
（1）求證：直線MN∥面ABC
（2）求三棱錐B-ACM的體積．

Answer 1

分析 （1）由已知結合三角形中位線定理可得MN∥BC，再由線面平行的判斷得答案；
（2）利用等積法把三棱錐B-ACM的體積轉化為三棱錐M-ABC的體積求解．

解答 證明：（1）如圖，在△A₁BC中，

∵點M，N分別是A₁B和A₁C的中點，
∴MN∥BC，又BC?平面ABC，MN?平面ABC，
∴MN∥面ABC；
解：（2）∵AB⊥AC，AB=AC=2，
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×2×2=2$，
在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
又M為A₁B的中點，且AA₁=2，
∴M到平面ABC的距離為1．
∴${V}_{B-ACM}={V}_{M-ABC}=\frac{1}{3}×2×1=\frac{2}{3}$．

點評 本題考查直線與平面平行的判斷，訓練了利用等積法求多面體的體積，是中檔題．