Question

4．如圖，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，高AA₁=$\sqrt{2}$，點(diǎn)A是平面α內(nèi)的一個(gè)定點(diǎn)，AA₁與α所成角為$\frac{π}{3}$，點(diǎn)C₁在平面α內(nèi)的射影為P，當(dāng)四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁按要求運(yùn)動(dòng)時(shí)（允許四棱柱上的點(diǎn)在平面α的同側(cè)或異側(cè)），點(diǎn)P所經(jīng)過(guò)的區(qū)域的面積=$2\sqrt{3}π$．

Answer 1

分析 由題意，點(diǎn)A是平面α內(nèi)的一個(gè)定點(diǎn)，AA₁與α所成角為$\frac{π}{3}$，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁按要求運(yùn)動(dòng)，為A定點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)和定直線(xiàn)AA₁旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)．再作點(diǎn)C₁在平面α內(nèi)的射影為P的軌跡掃過(guò)的圖形，即可得到點(diǎn)P所經(jīng)過(guò)的區(qū)域的面積．

解答
解：當(dāng)長(zhǎng)方體繞A₁A轉(zhuǎn)的時(shí)候，C₁C形成一個(gè)圓柱，過(guò)C₁往平面α作垂線(xiàn)垂足P，就形成一個(gè)橢圓，其短軸為P₁P₂=$\sqrt{6}$，長(zhǎng)軸為$2\sqrt{2}$ 的y型的橢圓，其中心A點(diǎn)在平面α上的射影M．
當(dāng)AA₁繞著A點(diǎn)轉(zhuǎn)時(shí)，則橢圓就以A為圓心，$\frac{\sqrt{2}}{2}$為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，其掃過(guò)的區(qū)域?yàn)橐粋�(gè)圓環(huán)，外徑為$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{6}$，內(nèi)徑為$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$，
所以面積為：[（$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{6}$）²-$（\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}）^{2}$]•π=$2\sqrt{3}π$
故填：$2\sqrt{3}π$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了立體幾何中以定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)和定直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)形成的圖形的面積問(wèn)題．注重空間思維的想象力的培養(yǎng)和作圖能力，數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化的思想的靈活性的運(yùn)用．屬于難題．