Question

11．△ABC的面積為$\frac{{3\sqrt{15}}}{4}$，$cosB=-\frac{1}{4}$，AC=4，則△ABC的周長為9．

Answer 1

分析 由已知及余弦定理可得：16=AB²+BC²+$\frac{1}{2}$AB•BC，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinB，利用三角形面積公式可求AB•BC=6，聯(lián)立，解得：AB+BC=5，即可計算得解三角形的周長．

解答 解：∵$cosB=-\frac{1}{4}$，AC=4，
∴由余弦定理可得：16=AB²+BC²+$\frac{1}{2}$AB•BC①，
∴sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
又∵△ABC的面積為$\frac{{3\sqrt{15}}}{4}$=$\frac{1}{2}$AB•BC•sinB=$\frac{1}{2}×AB×BC×$$\frac{\sqrt{15}}{4}$，解得：AB•BC=6②，
∴聯(lián)立①②，解得：AB+BC=5，
∴△ABC的周長為AB+BC+AC=5+4=9．
故答案為：9．

點(diǎn)評 本題主要考查了余弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，三角形面積公式在解三角形中的應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．