Question

6．已知以點C（t，$\frac{2}{t}$）（t＞0）為圓心的圓經(jīng)過原點O，且與x軸交于點A，與y軸交于點B．
（Ⅰ）求證：△AOB的面積為定值．
（Ⅱ）設直線2x+y-4=0與圓C交于點M，N，若|OM|=|ON|，求圓C的方程．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，設P，Q分別是直線l：x+y+2=0和圓C上的動點，求|PB|+|PQ|的最小值及此時點P的坐標．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)圓的方程求出A，B的坐標即可證明△AOB的面積為定值；
（Ⅱ）根據(jù)直線2x+y-4=0與圓C交于點M，N，結合|OM|=|ON|，建立條件關系即可，求圓C的方程；
（Ⅲ）根據(jù)直線和圓相交以及點的對稱性即可得到結論．

解答 （Ⅰ）證明：由題意可得：圓的方程為：（x-t）²+（y-$\frac{2}{t}$）²=t²+$\frac{4}{{t}^{2}}$，
可化為：x²-2tx+y²-$\frac{4}{t}$y=0，與坐標軸的交點分別為：A（2t，0），B（0，$\frac{4}{t}$）．
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}|2t|$|$\frac{4}{t}$|=4，為定值．--------（4分）
（Ⅱ）解：∵|OM|=|ON|，∴原點O在線段MN的垂直平分線上，
設線段MN的中點為H，則C，H，O三點共線，
OC的斜率k=$\frac{2}{{t}^{2}}$，∴（$\frac{2}{{t}^{2}}$）×（-2）=-1，解得t=±2，
∵t＞0∴t=2
可得圓心C（2，1）
∴圓C的方程為：（x-2）²+（y-1）²=5．--------（8分）
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）可知：圓心C（2，1），半徑r=$\sqrt{5}$，
點B（0，2）關于直線x+y+2=0的對稱點為B′（-4，-2），
則|PB|+|PQ|=|PB′|+|PQ|≥|B′Q|，
又點B′到圓上點Q的最短距離為|B′C|-r=$\sqrt{36+9}-\sqrt{5}=2\sqrt{5}$，
則|PB|+|PQ|的最小值為$2\sqrt{5}$．
直線B′C的方程為：y=$\frac{x}{2}$，此時點P為直線B′C與直線l的交點，
故所求的點P（-$\frac{4}{3}$，-$\frac{2}{3}$）．------（12分）

點評 本題主要考查直線和圓的方程的綜合應用，根據(jù)條件建立方程關系是解決本題的關鍵．綜合性較強，運算量較大．