Question

6．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，${a_{n+1}}=\frac{{2{a_n}}}{{{a_n}+2}}$，（n∈N^*），${b_n}=\frac{1}{a_n}$．
（1）證明數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的能項公式．

Answer 1

分析 （1）利用遞推關(guān)系、取倒數(shù)、等差數(shù)列的定義即可證明．
（2）由（1）利用等差數(shù)列的通項公式可得b_n，即可得出．

解答 （1）證明：∵a₁≠0，且有${a_{n+1}}=\frac{{2{a_n}}}{{{a_n}+2}}$，所以有a_n≠0（n∈N^*），
則${b_{n+1}}=\frac{1}{{{a_{n+1}}}}=\frac{{{a_n}+2}}{{2{a_n}}}=\frac{1}{a_n}+\frac{1}{2}={b_n}+\frac{1}{2}$，即${b_{n+1}}-{b_n}=\frac{1}{2}$（n∈N^*），且${b_1}=\frac{1}{a_1}=1$，
所以{b_n}是首項為1，公差為$\frac{1}{2}$的等差數(shù)列．
（2）由（1）知${b_n}={b_1}+（n-1）×\frac{1}{2}=1+\frac{n-1}{2}=\frac{n+1}{2}$，即$\frac{1}{a_n}=\frac{n+1}{2}$，
所以${a_n}=\frac{2}{n+1}$．

點評 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等差數(shù)列的通項公式、取倒數(shù)方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．