Question

10．如圖，AB為⊙O的直徑，AC切⊙O于點A，且AC=2$\sqrt{2}$，過C的割線CMN交AB的延長線于點D，若CM=MN=ND，則BD的長等于$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．

Answer 1

分析 利用掌握圓的切線的性質(zhì)、切割線定理、三角形相似的性質(zhì)即可得出．

解答 解：∵AC切⊙O于點A，CM=MN，AC=2$\sqrt{2}$，
∴AC²=CM•CN，
∴CM=2．
∴CD=3CM=6．
∵AB為⊙O的直徑，AC切⊙O于點A，
∴AC⊥AD，
∴在Rt△ACD中，由勾股定理可得AD=2$\sqrt{7}$．
作OE⊥CD，則DE=3．
∴$\frac{3}{OD}$=$\frac{2\sqrt{7}}{6}$，
∴OD=$\frac{9\sqrt{7}}{7}$，
∴OA=AD-OD=$\frac{5\sqrt{7}}{7}$，
∴BD=OD-OB=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．
故答案為：$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．

點評 熟練掌握圓的切線的性質(zhì)、切割線定理、三角形相似的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．