Question

3．如圖，在直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=4，∠BAC=90°，E為BC的中點．
（1）求證：平面AB₁E⊥平面BCC₁B₁；
（2）若側面ABB₁A₁為正方形，求證；BC₁⊥平面AB₁E．

Answer 1

分析 （1）利用等腰三角形的性質可證AE⊥BC，又由直棱柱的性質可證AE⊥C₁C，可證AE⊥平面BCC₁B₁，進而證明平面AB₁E⊥平面BCC₁B₁．
（2）以A₁為原點，建立空間直角坐標系，分別求出點B₁，C₁，A，E，B的坐標，進而可求$\overrightarrow{B{C}_{1}}$，$\overrightarrow{{B}_{1}A}$，$\overrightarrow{{B}_{1}E}$的坐標，由$\overrightarrow{B{C}_{1}}$•$\overrightarrow{{B}_{1}A}$=0，$\overrightarrow{B{C}_{1}}$•$\overrightarrow{{B}_{1}E}$=0，可證BC₁⊥B₁A，BC₁⊥B₁E，進而利用線面垂直的判定定理即可證明BC₁⊥平面AB₁E．

解答 證明：（1）∵AB=AC=4，E為BC的中點．
∴AE⊥BC，
又∵在直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AE⊥C₁C，BC∩C₁C=C，
∴AE⊥平面BCC₁B₁，
∵AE?平面AB₁E，
∴平面AB₁E⊥平面BCC₁B₁．
（2）如圖，以A₁為原點，建立空間直角坐標系，
可得：B₁（4，0，0），C₁（0，4，0），A（0，0，4，），E（2，2，4），B（4，0，4），
可得：$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（-4，4，-4），$\overrightarrow{{B}_{1}A}$=（-4，0，4），$\overrightarrow{{B}_{1}E}$=（-2，2，4），
由于：$\overrightarrow{B{C}_{1}}$•$\overrightarrow{{B}_{1}A}$=16+0-16=0，
$\overrightarrow{B{C}_{1}}$•$\overrightarrow{{B}_{1}E}$=8+8-16=0，
∴BC₁⊥B₁A，BC₁⊥B₁E，
又∵B₁A∩B₁E=B₁，
∴BC₁⊥平面AB₁E．

點評 本題主要考查了等腰三角形的性質，直棱柱的性質，線面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理的應用，考查了空間想象能力和推理論證能力，屬于中檔題．