Question

已知AB、MN為圓C：（x-2）²+y²=9的兩條相互垂直的弦，垂足為R（3，a），若四邊形ABMN的面積的最大值為14，則a=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系

專題：直線與圓

分析：如圖所示，①當(dāng)AB或MN中有一條為直徑而另一條垂直于x軸時(shí)，不妨設(shè)此時(shí)|AB|=6，|MN|=2

r2-(3-2)2

=2

2

，可得四邊形ABMN的面積，判定是否符合條件；
②當(dāng)AB，MN都不為直徑時(shí)，分別過圓心作到兩條垂直弦的垂線，設(shè)到弦的距離分別d₁，d₂．可得

d

2 1

+

d

2 2

=(3-2)2+a2=1+a2．
假設(shè)存在a的值滿足條件，則

1

2

|AB| |MN|=14，可得|AB||MN|=28．利用垂徑定理和勾股定理可得：(

1

2

|AB|)2=9-

d

2 1

，(

1

2

|MN|)2=9-

d

2 2

，再利用基本不等式的性質(zhì)可得|AB|²+|MN|²=72-4(

d

2 1

+

d

2 2

)=68-4a²≥2|AB||MN|=56，化為a²≤2，即可得出a的值．

解答： 解：如圖所示，①當(dāng)AB或MN中有一條為直徑而另一條垂直于x軸時(shí)，不妨設(shè)此時(shí)|AB|=6，|MN|=2

r2-(3-2)2

=2

2

，可得SANBM=

1

2

×6×4

2

=12

2

＞14，不符合條件，應(yīng)舍去；
②當(dāng)AB，MN都不為直徑時(shí)，分別過圓心作到兩條垂直弦的垂線，設(shè)到弦的距離分別d₁，d₂．
則

d

2 1

+

d

2 2

=(3-2)2+a2=1+a2．
假設(shè)存在a的值滿足條件，則

1

2

|AB| |MN|=14，
可得|AB||MN|=28．
利用垂徑定理和勾股定理可得：(

1

2

|AB|)2=9-

d

2 1

，(

1

2

|MN|)2=9-

d

2 2

，
∴|AB|²+|MN|²=72-4(

d

2 1

+

d

2 2

)=68-4a²≥2|AB||MN|=56，化為a²≤3，
當(dāng)且僅當(dāng)a=±

3

時(shí)取等號，此時(shí)|AB|=|MN|．
故答案為：±

3

．

點(diǎn)評：熟練掌握垂徑定理、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、勾股定理、兩點(diǎn)間的公式、分類討論思想方法等是解題的關(guān)鍵．