Question

18．在直角坐標xOy平面內(nèi)，已知點F（2，0），直線l：x=-2，P為平面上的動點，過P作直線l的垂線，垂足為點Q，且$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OF}=\overrightarrow{FP}•\overrightarrow{FQ}$．
（1）求動點P的軌跡C的方程；
（2）過點F的直線交軌跡C于A，B兩點，交直線l于點M，已知$\overrightarrow{MA}=λ\overrightarrow{AF}，\overrightarrow{MB}=μ\overrightarrow{BF}$，試判斷λ+μ是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）設P（x，y），則Q（-2，y），表示出向量通過$\overrightarrow{QP}•\overrightarrow{QF}=\overrightarrow{FP}•\overrightarrow{FQ}$，可得軌跡方程．
（2）直線AB的斜率存在且不為0，設直線方程為x=ty+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），$M（-2，-\frac{4}{t}）$
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}x=ty+2\\{y^2}=8x\end{array}\right.$，消x可得y²-8ty-16=0，利用韋達定理，通過a＞2，推出$（x+2，{y_1}+\frac{4}{t}）=λ（2-{x_1}，-{y_1}）$，$λ=-1-\frac{4}{{t{y_1}}}$，同理可得$μ=-1-\frac{4}{{t{y_2}}}$，然后化簡即可．

解答 解：（1）設P（x，y），則Q（-2，y），
所以$\overrightarrow{QP}=（x+2，0），\overrightarrow{QF}=（4，-y），\overrightarrow{FP}=（x-2，y），\overrightarrow{FQ}=（-4，y）$，
由$\overrightarrow{QP}•\overrightarrow{QF}=\overrightarrow{FP}•\overrightarrow{FQ}$可得，4（x+2）=-4（x-2）+y²，
整理可得：y²=8x．
（2）由題意可知，直線AB的斜率存在且不為0，可設直線方程為x=ty+2，
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），$M（-2，-\frac{4}{t}）$
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}x=ty+2\\{y^2}=8x\end{array}\right.$，消x可得y²-8ty-16=0，
所以y₁+y₂=8t，y₁y₂=-16．
又a＞2，即$（x+2，{y_1}+\frac{4}{t}）=λ（2-{x_1}，-{y_1}）$，${y_1}+\frac{4}{t}=-λ{y_1}$，
得$λ=-1-\frac{4}{{t{y_1}}}$，同理可得$μ=-1-\frac{4}{{t{y_2}}}$，
所以$λ+μ=-2-\frac{4}{t}（{\frac{1}{y_1}+\frac{1}{y_2}}）=-2-\frac{4}{t}（{\frac{{{y_1}+{y_2}}}{{{y_1}{y_2}}}}）=-2-\frac{4}{t}•\frac{8t}{-16}$=0．

點評 本題考查直線與拋物線的位置關系的綜合應用，軌跡方程的求法，考查轉化思想設而不求的應用，考查計算能力．