Question

7．設(shè)x∈[$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{4}$]，則函數(shù)f（x）=sinx-cosx的值域是[0，$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 先根據(jù)兩角和公式對函數(shù)解析式進行化簡，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)得出答案．

解答 解：y=sinx-cosx=$\sqrt{2}$（$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinx-$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosx）=$\sqrt{2}$（sinxcos$\frac{π}{4}$-cosxsin$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$sin（x-$\frac{π}{4}$），
∵x∈[$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{4}$]，
∴x-$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，π]，
∴sin（x-$\frac{π}{4}$）∈[0，1]，
∴$\sqrt{2}$sin（x-$\frac{π}{4}$）∈[0，$\sqrt{2}$]，即函數(shù)的值域為[0，$\sqrt{2}$]，
故答案為：[0，$\sqrt{2}$]．

點評 本題主要考查兩角和公式及三角函數(shù)值域問題．把三角函數(shù)化簡成y=Asin（ωx+φ）的形式很關(guān)鍵．