Question

17．已知α，β∈（0，π），且$cos（2α+β）-2cos（α+β）cosα=\frac{3}{5}$，則sin2β=$-\frac{24}{25}$．

Answer 1

分析 由已知利用拆角方法及兩角和與差的余弦求得cosβ，再由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式結(jié)合角的范圍求得sinβ，代入二倍角公式求得sin2β．

解答 解：$cos（2α+β）-2cos（α+β）cosα=\frac{3}{5}$，
得cos[（α+β）+α]-2cos（α+β）cosα=$\frac{3}{5}$，
即cos（α+β）cosα-sin（α+β）sinα-2cos（α+β）cosα=$\frac{3}{5}$，
∴-[cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα]=$\frac{3}{5}$，則-cosβ=$\frac{3}{5}$，cosβ=-$\frac{3}{5}$．
又β∈（0，π），∴sinβ=$\frac{4}{5}$，
則sin2β=2sinβcosβ=2×$\frac{4}{5}×（-\frac{3}{5}）$=$-\frac{24}{25}$．
故答案為：$-\frac{24}{25}$．

點評 本題考查三角函數(shù)的化簡求值，考查兩角和與差的余弦及倍角公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)的計算題．