Question

9．設(shè)過拋物線y²=4x的焦點F的直線l交拋物線于點A，B，若以AB為直徑的圓過點P（-1，2），且與x軸交于M（m，0），N（n，0）兩點，則mn=（　　）

• A． 3
• B． 2
• C． -3
• D． -2

Answer 1

分析 設(shè)直線MN的方程為x=ty+1，代入橢圓方程，由韋達(dá)定理及拋物線的性質(zhì)，求得圓心坐標(biāo)，由以AB為直徑的圓過點P（-1，2）代入即可求得t的值，求得橢圓方程，當(dāng)y=0時，即可求得m和n的值，即可求得mn．

解答 解：拋物線焦點坐標(biāo)為F（1，0），準(zhǔn)線方程為x=-1…．（2分）
設(shè)直線MN的方程為x=ty+1，A、B的坐標(biāo)分別為（$\frac{{y}_{1}^{2}}{4}$，y₁），（$\frac{{y}_{2}^{2}}{4}$，y₂）
由$\left\{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，y²-4my-4=0，
∴y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4，
x₁+x₂=ty₁+1+ty₂+1=t（y₁+y₂）+2=4t²+2，$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=2t²+1，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=2t，
則圓心D（2t²+1，2t），
由拋物線的性質(zhì)可知：丨AB丨=x₁+x₂+p=4（t²+1），
由P到圓心的距離d=$\sqrt{[2t+1-（-1）]^{2}+（2t-2）^{2}}$，
由題意可知：d=$\frac{1}{2}$丨AB丨，
解得：t=1，
則圓心為（3，2），半徑為4，
∴圓的方程方程為（x-3）²+（y-2）²=4²，
則當(dāng)y=0，求得與x軸的交點坐標(biāo)，假設(shè)m＞n，
則m=3-2$\sqrt{3}$，n=3+2$\sqrt{3}$，
∴mn=（3-2$\sqrt{3}$）（3+2$\sqrt{3}$）=-3，
故選：C．

點評 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查拋物線的簡單幾何性質(zhì)及中點坐標(biāo)公式，考查計算能力，屬于中檔題．