Question

20．已知函數(shù)f（x）=ln x，F(xiàn)（x）=x-$\frac{a}{x}$+$\frac{lnx}{x}$-a，
（1）求函數(shù)f（x）在A（1，0）處的切線方程．
（2）若F（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)f′（1）=1，求出切線方程即可；
（2）求出函數(shù)F（x）的導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為a≥-x²+ln x-1恒成立，令G（x）=-x²+ln x-1，求出G（x）的最大值，從而求出a的范圍即可．

解答 解：（1）因?yàn)閒′（x）=$\frac{1}{x}$，所以f′（1）=1，
故切線方程為y=x-1．__________（4分）
（2）y=F（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
F′（x）=$\frac{{x}^{2}-lnx+a+1}{{x}^{2}}$，
則當(dāng)x≥1時(shí)，x²-ln x+a+1≥0恒成立，
即當(dāng)x≥1時(shí)，a≥-x²+ln x-1恒成立．
令G（x）=-x²+ln x-1，
則當(dāng)x≥1時(shí)，G′（x）=$\frac{1-{2x}^{2}}{x}$＜0，
故G（x）=-x²+ln x-1在[1，+∞）上單調(diào)遞減，
從而G（x）_max=G（1）=-2，
故a≥G（x）_max=-2，
即a的取值范圍為a≥-2．_______（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線方程問題，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．