Question

10．如圖四邊形ABCD是正方形，延長(zhǎng)CD至E，使得DE=CD．若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿正方形的邊按逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)一周回到A點(diǎn)，其中$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AE}$，下列五個(gè)命題中正確的是①②
①點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，λ+μ=1；
②當(dāng)點(diǎn)P為BC的中點(diǎn)時(shí)，λ+μ=2；
③λ+μ的最大值為4； 
④λ+μ的最小值為-1；
⑤滿足λ+μ=1的點(diǎn)P有且只有一個(gè)．

Answer 1

分析 建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為1，可以得到$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AE}$的坐標(biāo)表示，再根據(jù)相對(duì)應(yīng)的條件加以判斷即可．

解答 解：由題意，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為1，建立坐標(biāo)系如圖，
則B（1，0），E（-1，1），
∴$\overrightarrow{AB}$=（1，0），$\overrightarrow{AE}$=（-1，1），
∵$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AE}$=（λ-μ，μ），
∴點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{AB}$，
此時(shí)λ=1，μ=0，λ+μ=1，①正確；
∴P是BC的中點(diǎn)時(shí)，$\overrightarrow{AP}$=（1，$\frac{1}{2}$）=$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AE}$，
此時(shí)λ=$\frac{3}{2}$，μ=$\frac{1}{2}$，λ+μ=2，②正確；
當(dāng)P∈AB時(shí)，有0≤λ-μ≤1，μ=0，0≤λ≤1，0≤λ+μ≤1，
當(dāng)P∈BC時(shí)，有λ-μ=1，0≤μ≤1，∴λ=μ+1，∴1≤λ≤2，∴1≤λ+μ≤3，
當(dāng)P∈CD時(shí)，有0≤λ-μ≤1，μ=1，∴μ≤λ≤μ+1，即1≤λ≤2，∴2≤λ+μ≤3，
當(dāng)P∈AD時(shí)，有λ-μ=0，0≤μ≤1，∴0≤λ≤1，∴0≤λ+μ≤2，
綜上，0≤λ+μ≤3，③λ+μ的最大值為4，錯(cuò)誤； 
④λ+μ的最小值為-1，錯(cuò)誤；
當(dāng)點(diǎn)P為AD中點(diǎn)時(shí)，$\overrightarrow{AP}$=（0，$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AE}$，
此時(shí)λ=μ=$\frac{1}{2}$，λ+μ=1，結(jié)合①知，滿足λ+μ=1的點(diǎn)P不唯一，⑤錯(cuò)誤．
綜上，正確的命題是①②．
故答案：①②．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量加減的幾何意義，涉及分類討論以及反例的方法，是綜合性題目．