16.?dāng)?shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上,且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半.這條直線被后人稱之為三角形的歐拉線.若△ABC的頂點(diǎn)A(2,0),B(0,4),且△ABC的歐拉線的方程為x-y+2=0,則頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為( 。
A.(-4,0)B.(-4,-2)C.(-2,2)D.(-3,0)

分析 設(shè)出點(diǎn)C的坐標(biāo),由重心坐標(biāo)公式求得重心,代入歐拉線得一方程,求出AB的垂直平分線,和歐拉線方程聯(lián)立求得三角形的外心,由外心到兩個(gè)頂點(diǎn)的距離相等得另一方程,兩方程聯(lián)立求得點(diǎn)C的坐標(biāo).

解答 解:設(shè)C(m,n),由重心坐標(biāo)公式得,
三角形ABC的重心為($\frac{2+m}{3}$,$\frac{4+n}{3}$),
代入歐拉線方程得:$\frac{2+m}{3}$-$\frac{4+n}{3}$+2=0,
整理得:m-n+4=0 ①
AB的中點(diǎn)為(1,2),直線AB的斜率k=$\frac{4-0}{0-2}$=-2,
AB的中垂線方程為y-2=$\frac{1}{2}$(x-1),即x-2y+3=0.
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}x-2y+3=0\\ x-y+2=0\end{array}\right.$,解得$\left\{\begin{array}{l}x=-1\\ y=1\end{array}\right.$.
∴△ABC的外心為(-1,1).
則(m+1)2+(n-1)2=32+12=10,
整理得:m2+n2+2m-2n=8 ②
聯(lián)立①②得:m=-4,n=0或m=0,n=4.
當(dāng)m=0,n=4時(shí)B,C重合,舍去.
∴頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是(-4,0).
故選:A

點(diǎn)評 本題考查直線方程的求法,訓(xùn)練了直線方程的點(diǎn)斜式,考查了方程組的解法.

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